а) Разложим знаменатель дроби на множители, решив биквадратное уравнение . Получим .
Для разложения исходной дроби на простейшие используем метод неопределенных коэффициентов,
.
Приравниваем коэффициенты при равных степенях в правой и левой частях этого равенства:
Отсюда
и .
Тогда
.
б) В этом примере корень знаменателя является кратным кратности 2. Поэтому в разложении дроби на простейшие ему будут соответствовать две дроби:
Это равенство должно соблюдаться для любых значений . Вычисления облегчаются, если в качестве таковых взять значения корней знаменателя:
в) Выделим в числителе дроби производную квадратного трехчлена, а в самом трехчлене - полный квадрат.
Для нахождения последнего интеграла используем рекуррентную формулу:
Итак,
.
Задача 6.3. Проинтегрировать тригонометрические функции
а) б) в).