УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
для обеспечения
управляемой самостоятельной работы студентов (УСР)
по учебной дисциплине
«Вычислительные методы и компьютерное моделирование»
Для специальности
Иностранный язык (английский).Информатика»
4-й курс
Всего УСР — 10 часов, 7 семестр
Лекция — 2 часа
Материалы подготовлены
Петлицкой Т.С.,
преподавателем кафедры физико-
математических дисциплин
(в соответствии с Положением об
управляемой самостоятельной работе
студентов БарГУ, утвержденным
30.08.2013 № 394)
Барановичи, 2014
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
ТЕМА: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В MS EXCEL. МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ.
Цель УСР:
– овладение учебным материалом дисциплины в объеме, требуемой учебной программой;
– формирование навыков самообразования в учебной, научной, производственной и управленческой деятельности;
– развитие учебных способностей, умений, навыков и принятия самостоятельных решений в профессиональной деятельности.
|
|
Вопросы для изучения:
- Метод ложного положения MS Excel.
Цель работы:
изучить один из методов решения нелинейных уравнений – метод ложного положения.
Методические указания:
1. Изучить предлагаемый вопрос по литературным источникам.
2. Составить конспект.
3. Ответить на вопросы для самоконтроля.
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В MSEXCEL. МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ.
1. Метод ложного положения.
Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень уравнения находится на отрезке и на одном из концов отрезка выполняется условие Возьмем эту точку в качестве начального приближения. Пусть для определенности это будет . Положим Будем проводить из точки прямые через расположенные на графике функции точки с координатами Абсцисса точки пересечения такой прямой с осью есть очередное приближение
Геометрическая иллюстрация метода приведена на рисунке:
Прямые на этом рисунке заменяют касательные в методе Ньютона. Эта замена основана на приближенном равенстве:
Заменим в расчетной формуле Ньютона производную правой частью приближенного предыдущего равенства. В результате получим расчетную формулу метода ложного положения:
Метод ложного положения обладает только линейной сходимостью. Сходимость тем выше, чем меньше отрезок .
Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода ложного положения такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство:
Пример: применим метод ложного положения для вычисления корня уравнения c точностью на отрезке .
|
|
Так как
то на отрезке есть корень.
Для ускорения сходимости возьмем более узкий отрезок , поскольку
Вторая производная функции равна .
Условие выполняется для точки .
В качестве начального приближения возьмем
По расчётной формуле метода ложного положения имеем:
Продолжая итерационный процесс, получим результаты, приведенные ниже:
a | b | f(x)=x3+2x-11 | f'(x)=3x2+2 | f''(x)=6x | Выбор x0 и х1 | e |
-8 | x0=a, x1=b | 0,001 | ||||
xn-1 | xn | f(xn-1) | f(xn) | f(b) | xn+1 | ǀxn-xn-1ǀ<e |
1,9 | -8 | -0,341 | 1,925428784 | - | ||
1,9 | 1,925429 | -0,341 | -0,011046501 | 1,926243535 | - | |
1,925429 | 1,926244 | -0,011046501 | -0,000351645 | 1,926269462 | 1,92624354 |
Ответ: корень уравнения равен 1,92624354.
Вопросы для самоконтроля
1. В чём суть метода ложного положения?
2. Почему этот метод называется «ложным»?
3. Критерий окончания метода ложного положения.
Список литературы
1. Численные методы: Учебно пособие для студентов вузов ∕ М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. — М.: Издательский центр «Академия», 2004.
2. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие /В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. — 3-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2008.
3. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н. В. Копченова, И. А. Марон. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1972.
Форма контроля: проверка конспекта.