Упрощение системы уравнений теории пластичности

Физические уравнения связи напряжений со скоростями деформации

или с приращением деформации

содержат функции, описывающие упрочнение материала.

Аппроксимация функции должна решить дилемму: аппроксимация должна быть точной, по возможности, и, в то же время, не быть слишком сложной, чтобы можно было справиться с математическими трудностями решения задач

В математической теории пластичности давно и успешно рассматривается идеализированная деформированная среда – идеально пластичный материал.

Известно, что упруго деформируемый материал по мере роста напряжений довольно резко переходит из упругого состояния в пластическое. Ряд материалов обнаруживают площадку текучести (например Fe): по мере развития пластической деформации некоторое время упрочнение материала не наступает.

Переход материалов в пластическое состояние с площадкой текучести характеризуется некоторым напряжением, интенсивность касательных напряжений для которого

Т=const (4.12)

Если при чистом сдвиге пластические деформации наступают при касательном напряжении (предел текучести на чистый сдвиг), то

Т= (4.13)

При одноосном растяжении .

Предел текучести при растяжении .

С учетом формулы (4.13), получается следующая формула связи предела текучести при растяжении и при чистом сдвиге :

= 0.58 (4.14)

Если интенсивность касательных напряжений записать полной формулой, то условие (4.13) представится так

(4.13 а)

или в главных нормальных напряжениях

(4.13 б)

Используем оценку интенсивности касательных напряжений по приближенной формуле

или так как

то

(4.13 в)

Уравнения (4.13), (4.13 а), (4.13 б) и (4.13 в) являются разной записью так называемого условия пластичности или условия, которым связаны между собой напряжения к моменту перехода материала в пластическое состояние. Это условие называется иногда условием пластичномти Губера-Мизеса, а также условием текучести.

Часто условие идеальной пластичности используется и в технологических задачах обработки металлов давлением. Конечно, оно является довольно грубым приближением действительной картины пластической деформации, которая обычно сопровождается интенсивным упрочнением. Однако простота условия пластичности и хорошо разработанная математическая теория решения конкретных задач делают допущение об идеальной пластичности металлов порой вполне оправданным.

Часто анализ НДС для упрощения делается в предположении об изотермическом характере течения. То есть разогрев от работы деформации и теплообмен с окружающей средой в расчет не принимаются. Это допущение во многих случаях оказывается оправданным. Правда, в каждом конкретном случае следует проверять справедливость этого допущения.

Решение технологических задач может быть существенно упрощено, если они могут быть представлены в виде задач на плоское деформированное состояние или плоское напряженное состояние.

Деформированное состояние называется плоским, если векторы скорости течения частиц лежат в параллельных плоскостях, например, параллельных координатной плоскости ХОУ.

В этом случае

Подобное состояние возникает в длинных призматических телах, ориентированных длинной стороной вдоль оси Z

(Z>>X; Z>>Y),

если нагрузки действуют в плоскостях, параллельных плоскости ХОУ. Плоское деформированное состояние реализуется, например, при прокатке листа.

По условию плоского деформированного состояния

(4.15)

Формула интенсивности скорости деформации сдвига (2.15 б)

для плоского деформированного состояния и несжимаемого материала

запишется проще

(4.16)

Так как для несжимаемого материала

то в силу условий (4.15)

(4.17)

Из последнего следует, так как , что

(4.17 а)

Если учесть формулы (4.17) и (4.17 а) в условии пластичности (4.13 а) и (4.13 б), то получим

(4.18)

(4.18 а)

В силу условий (4.17), имея ввиду, что не зависит от координаты Z, дифференциальные уравнения равновесия примут вид

х---у (4.19)

Также значительно упрощается система уравнений теории пластичности, если имеет место плоское напряженное состояние; при котором , а остальные компоненты не зависят от Z.

Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинках, для которых

Z<<X; Z<<Y,

деформируемых системой сил, лежащих в её срединной плоскости. Напряженное состояние, близкое к плоскому, реализуется при безоправочном волочении тонкостенных труб, при формовке листового материала и тому подобных процессах.

Дифференциальные уравнения равновесия для плоского напряженного состояния такие же, как и для плоского деформированного состояния (4.19).

Условие пластичности (4.13 а) для плоского напряженного состояния запишется так