Ще один тест для перевірки гетероскедастичності склав Глейсер. Він запропонував розглядати регресію абсолютних значень залишків , що відповідають регресії найменших квадратів, як певну функцію від , де — та незалежна змінна, яка відповідає зміні дисперсії . Для цього використовуються такі види функцій:
1)
2)
3) і т.ін.
Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків приймається на підставі статистичної значущості коефіцієнтів і . Переваги цього тесту визначаються можливістю розрізняти випадок чистої і замішаної гетероскедастичності. Чистій гетероскедастичності відповідають значення параметрів , а змішаній — . Залежно від цього треба користуватись різними матрицями S. Нагадаємо, що .
Приклад 7.4. Нехай потрібно перевірити наявність гетероскедастичності при побудові економетричної моделі, яка описуватиме залежність між доходом і рівнем заощаджень. Вихідні дані наведено в табл.7.4.
Таблиця 7.4
Місяць | Дохід | Заощадження | Місяць | Дохід | Заощадження |
10,8 | 2,36 | 17,5 | 2,59 | ||
11,4 | 2,20 | 18,7 | 2,90 | ||
12,0 | 2,08 | 19,7 | 2,95 | ||
12,6 | 2,20 | 20,6 | 2,82 | ||
13,0 | 2,10 | 21,7 | 3,04 | ||
13,9 | 2,12 | 23,1 | 3,53 | ||
14,7 | 2,41 | 24,8 | 3,44 | ||
15,5 | 2,50 | 25,9 | 3,75 | ||
16,3 | 2,43 | 27,2 | 3,99 |
Використаємо параметричний тест Гольдфельда — Квандта для встановлення гетероскедастичності при визначенні залежності між наведеними показниками.
|
|
Розв’язання. Ідентифікуємо змінні:
Y — заощадження — залежна змінна;
Х — дохід — пояснювальна змінна, Y = f (X).
Крок 1. Вихідна сукупність спостережень упорядковується відповідно до величини елементів вектора Х, який може впливати на зміну величини дисперсії залишків. Оскільки в табл. 7.3 дані про дохід упорядковані, то переходимо до наступного кроку.
Крок 2. Відкинемо c спостережень, які міститимуться в центрі векторів Х і Y, де , і поділимо сукупність спостережень на дві частини, кожна з яких містить спостережень.
Крок 3. Побудуємо економетричну модель за першою сукупністю, яка включає спостереження від першого по сьомий місяць включно: . Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі запишеться так:
Звідси = 2,1216;
= 0,007.
Економетрична модель має вигляд
I: .
Крок 4. Побудуємо економетричну модель виду за другою сукупністю спостережень, починаючи від дванадцятого по вісімнадцятий місяць.
Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі запишеться так:
Звідси = – 0,408;
= 0,165.
Економетрична модель має вигляд:
II:
Крок 5. Знайдемо розрахункові значення залежної змінної моделі — величини заощадження за кожною з двох моделей і визначимо відхилення фактичних значень заощаджень від розрахункових.
|
|
Таблиця 7.5 Таблиця 7.6
Місяць | у | u | u 2 | Місяць | y | u | u 2 | |||
2,36 | 2,00 | 0,36 | 0,1296 | 2,95 | 2,99 | –0,04 | 0,0016 | |||
2,20 | 2,06 | 0,14 | 0,0196 | 2,82 | 3,09 | –0,27 | 0,0729 | |||
2,08 | 2,13 | –0,05 | 0,0025 | 3,04 | 3,21 | –0,17 | 0,0289 | |||
2,20 | 2,19 | 0,01 | 0,0001 | 3,53 | 3,37 | 0,16 | 0,0256 | |||
2,10 | 2,24 | –0,14 | 0,0196 | 3,94 | 3,56 | 0,38 | 0,1444 | |||
2,12 | 2,34 | –0,22 | 0,0484 | 3,75 | 3,68 | 0,07 | 0,0049 | |||
2,41 | 2,43 | –0,02 | 0,0004 | 3,99 | 3,83 | 0,16 | 0,0256 | |||
Разом | 0,2202 | Разом | 0,3039 |
У табл.7.5 наведено результати обчислення суми квадратів залишків за першою моделлю S 1 = 0,2202.
У табл.7.6 наведено обчислення суми квадратів залишків за другою моделлю S 2 = 0,3039.
Крок 6. Обчислимо критерій R*, який наближено відповідає F -розподілу:
Порівняємо його значення з табличним значенням F -критерію при вибраному рівні довіри Р = 0,99 і ступенях свободи g1 = 5 і g2 = 5. F табл = 11. Звідси R * < F табл, що свідчить про відсутність гетероскедастичності.
* Обидва терміни — гомоскедастичність і гетероскедастичність запропоновані російським вченим А.А.Чупровим (Див.: Основные проблемы теории корреляции. — 2-е изд. — М.: Госстатиздат, 1960, с. 39).