Теоретическая часть. 1. Вокруг медиан треугольника

Содержание:

1. Вокруг медиан треугольника.

2. Вокруг биссектрис треугольника.

3. Вокруг высот треугольника.

4. Замечательные точки треугольника.

5. Прямоугольный треугольник.

6. Равнобедренный и равносторонний треугольники.

7. Вписанная, описанная и вневписанная окружности треугольника.

8. Четырёх угольники.

9. Окружность.

10. Вопросы существования треугольника.

Литература:

http://www.fmclass.ru/phys.php?id=4850d521dc406 – теория.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%81%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 - теория.

http://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/treugolniki-9112/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika-9481 -теория и задание.

1.

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.

Теоремы:

· Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих:

Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: .

Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: .

Длина медианы, проведенной к стороне равна: .

2. Биссектриса.

Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол на две равные части.

Биссектрисой угла треугольника называется наибольший отрезок биссектрисы угла, лежащий внутри треугольника.

Теоремы:

• Биссектриса — множество точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам:

Примечание. В обозначениях на рисунке имеем: , .

· Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: .

· Длина биссектрисы, делящей угол пополам, равна удвоенному произведению сторон, деленному на их сумму и умноженному на косинус половины угла между ними: .

· Длина биссектрисы равна: .

· Длина биссектрисы внешнего угла треугольника равна: , при .

· Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: , .

3. Высота треугольника.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Также как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличается.

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекутся вне треугольника.