ОТЧЕТ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
Название работы:
Исследование затухающих колебаний в колебательном контуре.
Факультет ИФФВТ | Работа № 10 |
ГруппаМТМ-13/1 | Дата выполнения1.12.2014 |
ФИО преподавателя Наседкина Ю.Ф. | ФИО студентаВасильева П.Г. |
Подпись исполнителя ___________________
Работу принял “ _____ ” ____________ 20 г. ___________________________________
Подпись и ФИО преподавателя
Теоретическое введение.
В данной работе затухающие колебания изучаются на примере движения рамки (баллистического гальванометра).
Рамка гальванометра (Р) подвешена на нити (Н) и подключена к внешним контактам (АВ) рис.1. На рамке укреплено зеркало (З).
Световой луч, даваемый лампой (Л) отражается от зеркала и попадает на шкалу (Ш). При прохождении через гальванометр заряда q рамка поворачивается на угол j. Это приводит к смещению светового луча по шкале на величину AN. Таким образом, изучая смещение луча на шкале, можно изучать измерение угла поворота рамки.
Получим уравнение движения рамки. Для этого предположим, что в начальный момент времени рамка отклонилась от положения равновесия на угол j, и запишем основное уравнение динамики вращения рамки относительно оси OO'.
, (1)
где М – момент внешних сил относительно оси OO';
I – момент инерции рамки относительно осиOO';
– угловое ускорение рамки.
На рамку действует два вида сил: сила упругости со стороны нити, и сила тормозящая движение рамки. Если клеммы (АВ) разомкнуты, то природа силы торможения – трение воздух. При замыкании клемм на сопротивление (R) (рис 1)возникает дополнительная сила электромагнитного торможения, которая при достаточно малом сопротивлении много больше силы трения. Моменты указанных сил определяются соотношениями:
; , (2)
где знаки “–“ показывают, что сила упругости нити стремится повернуть рамку в положение равновесия, а момент торможения направлен против угловой скорости ; k и g – коэффициенты пропорциональности.
С учетом сделанных замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:
. (3)
Обозначив (в некоторых книгах вводится обозначение ) и , перепишем (3) в виде:
. (4)
Подробно решение уравнения (4) описано в работах /1,2/. Здесь лишь коротко приведем результаты решения. Решение имеет вид:
, (5)
где – убывающая со временем амплитуда колебаний;
j 0 – начальная амплитуда колебаний (при t = 0);
w – круговая частота колебаний;
wt + j 0 – фаза колебаний;
j 0 – начальная фаза колебаний (при t = 0)
Частота w связана с частотой w 0 соотношением:
. (6)
Из (6) с учетом видно, что с ростом тормозящих сил (с ростом b) уменьшается w, а Т увеличивается, причем; при . Это означает, что движение рамки перестает быть колебательным и называется апериодическим.
Зависимость выражения (5) от времени приведена на рис.2 для и . Дляхарактеристики степени затухания колебаний вводится ряд величин. В данной работе необходимо ознакомиться с двумя из них – логарифмическим декрементом затухания (l) и добротностью (Q).
ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ДЕКРЕМЕНТОМ ЗАТУХАНИЯ l называется натуральный логарифм отношение двух последующих максимумов отклонения системы от положения равновесия.
, (7)
где отмечены на рис.2.
Связь l с b и периодом колебаний Т легко получить с помощью (5), если учесть, что (см. рис.2):
. (8)
Физический смысл логарифмического декремента затухания можно определить, связав его с числом колебаний, в течении которых амплитуда колебаний (5) уменьшится в e = 2,718… раз. Уменьшение амплитуды в e раз произойдет за время t, определяемое соотношением:
. (9)
Выразив из (9) t с учетом (8) получим:
. (10)
За это время система совершила N колебаний
. (11)
Еще одна величина, характеризующая затухание колебаний, связана с l соотношением
(12)
и называется добротностью системы. Соотношение (12) вместе с (11) позволяет дать одно из определений добротности, как число колебаний системы (с точностью до p), в течении которых амплитуда колебаний (5) уменьшится в e раз. Другие определения добротности даны в табл.1. В частности, нужно знать, что добротность обратно пропорциональна энергии, которую система рассеивает за период.
Таблица 1 Измерение периода затухающих колебаний, логарифмического декремента и параметров L,C,R колебательного контура.
№ | T,c | Rm,Oм | Um1 | Um2 | Um3 | λ | λ | λ | Β,1/c | Rк | L,Гн | (L),Гн | C,Ф*10^-6 |
0.019 | 1.1 | 0.8 | 0.55 | 0.47 | 0.4 | 0.335 | 17.6 | 62.3 | 0.15 | ||||
0.021 | 0.75 | 0.5 | 0.35 | 0.62 | 0.69 | 0.38 | 0.18 | ||||||
0.02 | 0.27 | 0.15 | 0.09 | 1.22 | 0.98 | 0.52 | 0.163 | ||||||
0.021 | 0.3 | 0.19 | 0.13 | 1.26 | 1.5 | 0.42 | 61.3 | 0.18 |
1.Период колебаний
1) T=l/l1*v=9/1.9*250=9/475=0.019с
2) T=9.2/435=0.021c
3) T=9.25/450=0.02c
4) T=9.18/425=0.0216c
2. Логарифмический декремент затухания
1) λ1 =ln(Um1/Um2)=0.31
Λ2 =ln(Um2/Um3)=0.36
(λ)= (λ1+ λ2)/2=0.335
2) λ1=0.4
Λ2=0.36
(λ)=0.38
3) λ1=0.57
Λ2=0.47
(λ)=0.52
4) λ1=0.45
Λ2=0.39
(λ)=0.42
3.Коэффициент затухания
1) 1=(λ)/T=0.335/0.019=17.6
2) 2=0.38/0.021=18
3) 3=0.52/0.02=26
4) 4=1.37/0.021=20
4.Эндуктивность катушки
1) L=(Rk+Rm)/2β=70
2)L=68
3)L=47
4)L=61.3
5. Емкость конденсатора
1) С=T^2/4П^2L=0.15*10^(-6)
2) C=0.18*10^(-6)
3)C=0.163*10^(-6)
4)C=0.18*10^(-6)
6. Относительная ошибка
Δ=28%
Таблица 2 Определение сопротивления контура
Rmkp,Ом | R=Rmkp+Rk,Ом | ||
Таблица 3Исследование фазовых кривых
№ | Rm,Ом | Um1 | Um2 | Um3 | λ | λ | λ | Im1 | Im2 | Im3 | λ | λ | λ |
1.73 | 0.6 | 0.47 | 1.05 | 0.25 | 0.65 | 2.2 | 0.5 | 0.3 | 1.48 | 0.51 | 0.996 | ||
1.6 | 0.57 | 0.3 | 1.02 | 0.64 | 0.83 | 0.9 | 0.4 | 0.1 | 0.81 | 1.39 | 1.1 | ||
1.5 | 0.4 | 0.15 | 1.32 | 0.99 | 1.15 | 5.2 | 1.1 | 0.1 | 1.55 | 1.7 | 1.63 | ||
1.3 | 0.3 | 0.06 | 1.46 | 1.6 | 1.53 | 5.74 | 1.3 | 0.5 | 1.48 | 0.96 | 1.22 |
1. Логарифмический декремент затухания
1) Λ1=1.05
Λ2=0.25
(λ)=0.65
2) λ1= 1.02
Λ2=0.64
(λ)=0.83
3) λ1=1.32
Λ2=0.99
(λ)=1.155
4) λ1=1.46
Λ2=1.6
(λ)=1.53
2. Логарифмический декремент затухания
1) λ1=1.48
Λ2=0.51
(λ)=0.996
2) λ1=0.81
Λ2=1.39
(λ)=1.1
3) λ1=1.55
Λ2=1.7
(λ)=1.63
4) λ1=1.48
Λ2=0.96
(λ)=1.22
Вывод: В данной работе было исследованы затухающие колебания в колебательном контуре. С помощью полученной картинки на осциллографе были измерены соответствующие отрезки l,l1 и амплитуды колебаний Um1,Um2,Um3, и по формуле рассчитан период колебаний, что в дальнейшем позволило вычислить другие характеристики колебания, такие как логарифмический декремент затухания и его производные со средним значением. Построение графика зависимости логарифмического декремента затухания от значений магазина сопротивления, что позволило получить значение активного сопротивления Rk. После вычисления катушки индуктивности и емкости конденсатора по формуле, была определена относительная ошибка, равная 28%. Погрешность могла возникнуть из-за очень толстой кривой на картинке осциллографа, которая была максимально настроена в плане четкости изображения. Причиной погрешности могла стать плохая зафиксированность проводов, при малейших касаниях к которым, происходило искривление картинки.