Определение. Неабелевая группа называется простой, если в ней всего две нормальные подгруппы - единичная и сама группа. Приведем несколько примеров простых групп: Теорема. Группы при простые. Лемма 1. Подгруппа порождается тройными циклами. Пусть в существует нормальная подгруппа , причем . Лемма 2. Если содержит тройной цикл (), то . Лемма 3. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы встречается цикл длины , то . Лемма 4. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится хотя бы два цикла длины 3, то . Лемма 5. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится один цикл длины 3 и циклы длины 2, то . Лемма 6. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержатся только циклы длины 2, то . Теперь, собственно, докажем теорему. Возьмем произвольную . Она удовлетворяет условию одной из наших лемм, следовательно . Теорема доказана. Приведем еще один пример простой группы: группа - ортогональных симметричных матриц. Определение. Коммутатором элементов из группы называется элемент . Упражнение. . Предложение. В имеем , если различны. Предложение. В группе имеем , если различны. Определение. Коммутант группы - (или ) - это множество всех произведений коммутаторов. Предложение. . Теорема. Упражнение. Докажите, что . Предложение. Пусть , тогда следующие условия эквивалентны: |
Группа G и ее нормальные подгруппы Определение циклической подгруппы Вернуться в оглавление: Алгебра |