Системы линейных уравнений.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
Решением системы называется совокупность n чисел , при подстановке которых в систему получаются верные числовые равенства.
Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; а система, не имеющая ни одного решения – несовместной.
Матрица А, составленная из коэффициентов , называется матрицей системы и имеет вид .
Матричный способ решения СЛУ.
Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:
.
Тогда систему уравнений можно записать в виде:
или АХ=В.
Следовательно,
Пример 1. Решить матричным способом систему линейных уравнений:
Решение. .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Системы линейных уравнений. Стр.1
Следовательно, .
Тогда .
Ответ:
Формулы Крамера.
Если – определитель матрицы системы – не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
|
|
где – определители, получаемые из путём замены j – того столбца на столбец свободных членов.
Пример 2. Решить с помощью формул Крамера систему линейных уравнений:
Решение.
(см. пример 1);
;
; .
Значит,
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Системы линейных уравнений. Стр.2
Метод Гаусса.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) состоит в следующем.
1. Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе (множество их решений совпадает) с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.
2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок, начиная с последних. Эти действия называют обратным ходом.
При выполнении прямого хода используются следующие преобразования:
1. Умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число.
2. Сложение и вычитание уравнений.
3. Перестановка уравнений системы.
4. Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю.
Пример 3. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведём её к треугольному виду.
Составим систему уравнений, соответствующую последней полученной матрице:
Решим полученные уравнения, начиная с последнего:
Ответ:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Системы линейных уравнений. Стр.3
Задачи для самостоятельного решения.
№1. Решить систему линейных уравнений:
|
|
а) матричным способом; б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса.
№2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
а) ; б) .
Домашнее задание.
№1. Решить систему линейных уравнений:
а) матричным способом; б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса.
№2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Системы линейных уравнений. Стр.4