Элементы теории вероятностей
Лекция
План
Вопрос 1. Понятие случайного события и случайного эксперимента.
Вопрос 2. Статистическое определение вероятности
Вопрос 3. Примеры решения задач
Вопрос 1. Понятие случайного события и случайного эксперимента
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее.
Пространством элементарных исходов («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой («омега»).
Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество .
Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества , а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.
|
|
Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
Примеры событий: — выпало одно или два очка; — выпало нечётное число очков.
Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел , где (соответственно, ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: .
Примеры событий:
— при первом подбрасывании выпало одно очко;
— при втором подбрасывании выпало одно очко;
— на костях выпало одинаковое число очков;
— на обеих костях выпало нечётное число очков.
1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие .
2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .
Операции над событиями
В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.
1. Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .
|
|
2. Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств и .
3. Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что событие в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в .
4. Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .
1. События и называют несовместными, если .
2. События называют попарно несовместными, если для любых , где , события и несовместны.
3. Говорят, что событие влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е. содержится в .
Вопрос 2. Статистическое определение вероятности
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если — некоторое событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию произойти.
Следует помнить, что мы имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.
Вопрос 3. Примеры решения задач
Пример 1. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае есть множество пар , где — точка стола и — угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно.
Пример 2. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов: , где р означает выпадение решки, а г — герба при одном подбрасывании.
Пример 3. Стрелок стреляет по мишени, разделённой на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определённую область мишени – событие.