I.ПОВТОРЕНИЕ
- значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной.
- механический смысл производной.
Если функция y = f(x) и ее аргумент «x» являются физическими величинами, то производная это – скорость изменения переменной «y» относительно переменной «x» вточке x. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная это – скорость в момент времени t. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t) – скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила тока в момент времени.
- Устный счет. Вычислите производную.
| 7. y= x5 – 4x6 |
| 8. y=3ctg x-1 |
| 9. y= 8-9x +7cosx |
| 10. y= 4 |
| 11. y=3sinx-7cosx |
| 12. y=x5 - |
II. НОВЫЙ МАТЕРИАЛ.
Экономический смысл производной.
Z = VꞋ (t) |
|
|
Z- Производительность труда, V – объём произведённой продукции.
Кроме того, производная позволяет находить скорость и темпы изменения различных экономических показателей:
Первая производная показывает скорость изменения, а вторая производная= скорость изменения скорости = ускорение =темпы изменения.
у Ꞌ | Показывает, что происходит с изучаемой величиной: увеличивается или уменьшается |
у ꞋꞋ | Показывает, в каком темпе это происходит |
III. ЗАДАЧИ.
- Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой
- v= - t3+ t2 +100t +50, 1 t 8, t – время.
Вычислите производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.
2. самостоятельное изучение материала и конспектирование.
Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара
p(х)=100 - .
1) Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?
2) Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?
Решение: Прибыль вычисляется по формуле:
Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х - -25х – 200 = - + 75х – 200.
Получаем математическую задачу: найти максимальное значение функции Q(х).
Q Ꞌ(х) = - + 75 = 0, х=1875
QꞋ (х) _______+ _______________-- _______
Q(х) 0 ↑ 1875 ↓
max
|
|
Чтобы прибыль была максимальной, надо произвести 1875 единиц товара.
Величина прибыли: 1875* (100 - ) – 25*1875 – 200 = 70112,5
С учетом налога: Q(х) = х*р(х) – d(х) – 10х =
х* р(х) – 35х – 200 = 100х - – 35х – 200 =65х - - 200, QꞋ (х) = - +65=0, х=1625.
Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ -- ____________
0 ↑ 1625 ↓
max
Чтобы прибыль была максимальной при оплате налога, надо произвести 1625 единиц товара.
Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.
IV.Д/З: учить конспект, решить задачу №4;
№ 4 Пельменный цех производит «х» кг. пельменей в день. По договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей. Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в день. Определите при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функции затрат имеет вид
К(х) = - х3 + 98 х2 + 200х.
IV. Самостоятельная работа.
в а р и а н т | На «3» Вычислите производную. | На «4» Исследуйте функцию с помощью производной | На «5» Решите практическую задачу |
у =8х – х3 | у= х3 – 27х | Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой: К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000. Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются? | |
у= х4 -2х | у = 2х3 -6х | Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид: К(х) = х3 – 4х2 + 9х. Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = ) |
Самостоятельная работа.
в а р и а н т | На «3» Вычислите производную. | На «4» Исследуйте функцию с помощью производной | На «5» Решите практическую задачу |
у= х4 -2х | у = 2х3 -6х | Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид: К(х) = х3 – 4х2 + 9х. Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = ) |
Самостоятельная работа.
в а р и а н т | На «3» Вычислите производную. | На «4» Исследуйте функцию с помощью производной | На «5» Решите практическую задачу |
у= х4 -2х | у = 2х3 -6х | Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид: К(х) = х3 – 4х2 + 9х. Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = ) |
Самостоятельная работа.
в а р и а н т | На «3» Вычислите производную. | На «4» Исследуйте функцию с помощью производной | На «5» Решите практическую задачу |
у =8х – х3 | у= х3 – 27х | Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой: К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000. Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются? |
Самостоятельная работа.
в а р и а н т | На «3» Вычислите производную. | На «4» Исследуйте функцию с помощью производной | На «5» Решите практическую задачу |
у =8х – х3 | у= х3 – 27х | Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой: К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000. Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются? |