2015-05-26
872
Концентрация носителей в ЗП и в ВЗ зависит от плотности потенциальных уровней Р (j) и от вероятности нахождения электронов на этих уровнях. Как известно из физики,
,
где а – физическая константа, равная 
, m эф – эффективная масса электрона или дырки, h – постоянная Планка, равная 6,6×10-34 Дж×с; φгр– граничный потенциал зоны проводимости или валентной зоны..
Вероятность нахождения электронов на том или ином уровне согласно распределительному закону Ферми-Дирака может быть определена следующим образом:
,
где φ– потенциал, на котором находится электрон; j Т – температурный потенциал; φ F – потенциал уровня Ферми или просто уровень Ферми. Это такой потенциал, вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5.
Уровень Ферми в большинстве полупроводников находится внутри ЗЗ. Раз это так, то разница (φ – φ F) >> φ T, т.к. φ T» 0,025 В, поэтому можно пренебречь единицей и записать 
.
Вероятность нахождения дырки в ВЗ равна вероятности отсутствия электрона.
.
Поскольку
,
тогда
.
Концентрация электронов в зоне проводимости может быть найдена как интеграл от произведения вероятности нахождения электрона в ЗП Fn (j) и плотности потенциальных уровней Р п(j). Пределы интегрирования от границы j c до ¥.
.
Множитель 2 означает, что на одном потенциальном уровне может находиться два электрона. Подставив значения Р (j – j c) и Fn (j), получим
.
Решим интеграл методом замены переменных. Примем 
, тогда
; 
;
;
.
Интеграл от 
является табличным и равен 
, тогда
, (1.1)
где 
– постоянный коэффициент; 
– эффективная плотность уровней в зоне проводимости.
Вывод 1: концентрация электронов в зоне проводимости зависит от температуры и разницы потенциалов 
и 
. Чем выше температура и меньше разница, или что тоже, больше концентрация примеси донора, тем больше электронов в зоне проводимости, и, следовательно, выше электропроводность полупроводника.
Аналогично можно найти концентрацию дырок в валентной зоне
,
или, подставляя значения плотности и вероятности, получим
.
Произведем замену переменных, обозначив через 
, тогда 
, 
, а пределы интегрирования от 0 до +¥.
, (1.2)
где 
– постоянный коэффициент; 
– эффективная плотность уровней в валентной зоне.
Вывод 2: концентрация дырок в валентной зоне зависит от температуры и разнице потенциалов и 
. Чем выше температура и меньше разница, или что тоже, больше концентрация акцепторной примеси, тем больше дырок в валентной зоне, а, следовательно, выше электропроводность полупроводника.
Для анализа проводимости собственных полупроводников (без примеси) найдем произведение концентраций электронов и дырок. Из формул (1.1) и (1.2)
.
Следовательно, произведение концентраций при постоянной температуре не зависит от , а определяется лишь шириной запрещенной зоны.
Так как в собственных полупроводниках
,
то
.
Отсюда можно сделать вывод, что собственная концентрация определяется лишь шириной запрещенной зоны и сильно зависит от температуры.
Произведение концентраций n и р в любом типе полупроводника есть величина постоянная при постоянной температуре и может быть найдена как
, (1.3)
где 
– концентрация электронов и дырок в n -полупроводнике; 
– концентрация электронов и дырок в р -полупроводнике; 
– концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике.
