Закон Ома в комплексной форме

Поскольку синусоидальные токи и напряжения изображаются векторами, то, совместив начало каждого вектора с началом координат 0 комплексной плоскости, можно утверждать, что конец вектора (точка) является комплексным числом, а длина вектора (модуль комплексного числа) с учетом масштаба представляет собой величину соответствующего тока или напряжения.

Принято обозначать комплексы токов, напряжений и мощностей соответствующими буквами с точками наверху (), а комплексы сопротивлений и проводимостей, которые не являются гармоническими функциями времени, – подчеркиванием внизу (Z, Y).

Рассмотрим переход от параметрического метода расчета к символическому на примере закона Ома для цепи с последовательным соединением активного r, индуктивного x_L и емкостного x_C сопротивлений. Закон Ома в параметрическом методе (43) записывается в виде:

,

где – полное сопротивление цепи (гипотенуза треугольника сопротивлений), r и соответственно x = x_L − x_C – активное и реактивное сопротивления цепи как катеты треугольника сопротивлений (рис.23б).

Угол j в треугольнике сопротивлений – угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на входе цепи (рис. 23б).

Предположим, что цепь имеет индуктивный характер (x_L > x_C) и перенесем векторную диаграмму напряжения и тока в комплексную плоскость, совместив начала векторов напряжения и тока с началом 0 координат +1, +j. Очевидно концы векторов и (точки) представляют собой комплексы действующих значений напряжения и тока (рис. 33).

Рис. 33

Умножив вектор тока на вещественное число (скаляр) z, получим вектор , равный по длине вектору , но сонаправленный с вектором тока . Чтобы получить истинное положение вектора на диаграмме (рис. 33), необходимо умножить вектор на оператор поворота e^jj на угол j в положительном направлении (против часовой стрелки). Таким образом можно записать:

(68)

,

(69)

где Z = z e^jj = zcosj + jzsinj = r + j (x_L - x_C) = r + jx_L – jx_C = r + jx

– комплексное сопротивление цепи,

r = zcosj = Re Z – активное сопротивление;

x = zsinj = Im Z – реактивное сопротивления цепи.

Из равенства (68) следует: – закон Ома для последовательной цепи.

Введем понятие об эквивалентной комплексной проводимости, устранив мнимую единицу j в знаменателе

(70)

где – активная проводимость;

– реактивная проводимость;

– полная (кажущаяся) проводимость эквивалентной параллель-

ной цепи.

Очевидно закон Ома для разветвленной (параллельной) цепи имеет вид:

(71)

.

Сделаем обратный эквивалентный переход от параллельной цепи к последовательной

(72)

где – активное сопротивление;

– реактивное сопротивление;

– полное (кажущееся) сопротивление эквивалентной последо-

вательной цепи.

Следует обратить внимание, что при эквивалентных переходах от последовательной цепи к параллельной и наоборот знак реактивной составляющей изменяется на противоположный.