С точки зрения математики любой материальный объект – это элемент множества, на котором заданы алгебраические операции или отношения.
Вектор – это элемент векторного пространства.
Векторное пространство (V) – это множество, на котором задана алгебраическая операция, называемая обычно сложением, относительно которой V – коммутативная группа.
P – поле. Задано действие поля Р на элементы коммутативной группы V
Временно действие будем обозначать «*», а «+» -это обычное сложение.
4 аксиомы векторного пространства:
Векторным пространством над полем Р называется коммутативная группа, над которой задано действие поля (Р).
Примеры:
Если рассмотреть многочлен , в качестве действия выбрать умножение многочлена на элемента поля Р, а в качестве сложения выбрать обычно сложение многочлена, то у нас получится векторное пространство.
Рассмотрим матрицы с коэффициентами в поле Р. В качестве сложения возьмем обычное сложение матриц, а в качестве действия возьмем умножение матриц на элементы поля. , m=1, получится матрица – строка.
|
|
Матрицы-строки тоже образуют векторное пространство. Аналогично и с матрицами-столбцами.
С точки зрения математики с точностью обозначения конечные векторные пространства исчерпываются пространствами строк, столбцов.
Следствия из аксиом векторного пространства.
1)
Доказать, используя 4 аксиомы действия.
- по 3 аксиоме. добавим к обеим частям обратный по сложению .
2) и опять прибавим обратный по сложению
Если - некоторое множество векторов, то любая запись из называется линейной комбинацией векторов.
Вектора называются линейно не зависимыми, если из того, что следует, что .
Вектора называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна 0.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:
1) Любое множество векторов, содержащее является линейно зависимо.
Доказательство:
2) Если множество векторов линейно зависимо, тои любое его расширенное множество тоже линейно зависимо.
Доказательство: все добавленные векторы добавляем в сумму с коэффициентами 0
Следствие: если множество векторов линейно независимо, то и его любое подмножество линейно независимо.
Базис векторного пространства множество называется порождающим, если , такое что
Базисом называется любое порождающее множество, состоящее из линейно независимых векторов.
Алгоритм получения базиса из порождающего множества:
Шаг №1 если , то мы его отбрасываем. Если , то оставляем.
Шаг №2 если линейно зависимы, тогда или выражается через то отбрасываем, а если линейно независимы тогда оставляем без изменений.
|
|
Не позже, чем на n – ом шаге у нас останется множество векторов линейно независимых, но свойство – быть порождаемым у него останется.
Если выражается линейно, через векторы , то соответствующие коэффициенты называются его координатами .
Если порождающее множество является базисом, то координаты единственные.
Доказательство:
Пусть у вектора есть вторые координаты. Назовем их , получится коэффициенты равны 0. .