Точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда

20.Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-¥;¥)

sinX=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)^n-1[X2n^-1]/(2n-1)!+… (-¥;¥)

cosX=1-x²/2!+x⁴/4!-…+[(-1)ⁿX²ⁿ]/(2n)!+… (-¥;¥)

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)x²]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x³]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xⁿ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-..+[(-1)ⁿxⁿ⁺¹]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x²+…+xⁿ+..

1/(1+X²)=1-x²+x⁴-x⁶+…

arctgX=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+…+[(-1)ⁿ⁺¹x^2n-1]/2n-1+…

21. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

Пусть ф-я f (x) является бесконечно диффериенцируемой, тогда этой ф-и можно поставить в соответствие ряд

Когда x₀ ¹0, то

В интервале сходимости (-R;R) сумма этого ряда S (x), но не всегда f (x)= S (x).

Если ряд сходится, то его можно представить в виде S_n (x)+ r_n (x) P_n (x)+ R_n (x) и S_n (x)= P_n (x), значит r_n (x)= R_n (x) иначе не равны.

Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (4) к f (x) является условие

- форма Пеано.