1. Трубка тока и средняя по сечению скорость жидкости.
Линия тока (применяется при неустановившемся движении) – это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной.
Трубка тока - трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой (рис. 1.3).
Элементарная струйка обладает следующими свойствами:
1. форма и ориентация в пространстве элементарной струйки при установившемся движении остается неизменной во времени, в этом случае трубка тока, образованная линиями тока, с течением времени не изменяет своей формы;
2. ни одна частица жидкости не может проникнуть внутрь струйки, или выйти наружу через трубку тока, вхождения в элементарную струйку внешних линий тока не происходит, так как боковая поверхность элементарной струйки образована линиями тока, к которым скорости направлены по касательной;
3. скорости во всех точках поперечного сечения элементарной струйки можно считать одинаковыми вследствие незначительности поперечного сечения элементарной струйки.
|
|
Совокупность элементарных струек, протекающих через площадку достаточно больших (конечных) размеров, называется потоком жидкости.
Рис. 1.3. Линия тока и струйка
Рис. 1.4. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе
Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений. Представим трубу с переменным живым сечением (рис.1.4). Расход жидкости через трубу в любом ее сечении постоянен, т.е. Q1=Q2= const, откуда
ω 1 υ 1 = ω 2 υ 2
Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:
Средняя скорость потока υ - скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода жидкости Q к площади живого сечения ω
Поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга, поэтому скорость движения и усредняется. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она равна нулю.
Основными видами движения жидкости являются: движение установившееся и неустановившееся, равномерное и неравномерное, напорное и безнапорное, сплошное и прерывистое.
Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени
υ = f(x, y, z)
P = φ f(x, y, z)
Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся или нестационарным
|
|
υ = f1(x, y, z, t)
P = φ f1(x, y, z, t)
2. Момент сил, сообщаемый потоку рабочим колесом в центробежном насосе. Основной задачей математического расчета насоса является определение его теоретического давления R t. Для определения R t рассмотрим баланс энергии между рабочим колесом и потоком. Течение жидкости между лопатками – это сложное трехмерное пространственное движение. Ввиду математической сложности точных гидродинамических уравнений полный анализ такого движения возможен только с помощью мощных компьютеров и специальных математических методов. Поэтому для упрощения задачи будем полагать, что жидкость движется по направлениям радиальной координаты и полярному углу (рис. 3.2). Это допустимо, если ширина лопастей существенно больше расстояния между ними.
Рис. 3.2.
Векторные величины впредь будем обозначать жирными буквами, скалярные - наклонными нежирными буквами.
Введем подвижную систему координат, связанную с рабочим колесом. Эта система координат вращается вместе с ним, и движется по окружности со скоростью u. Вектор скорости жидкости относительно вращающейся системы координат обозначим за w. При большом числе лопаток вектор w направлен практически по касательной к поверхности лопаток. Направление вектора u, очевидно, будет вдоль касательной к окружностям с центром оси вращения.
Скорость жидкости в неподвижной системе координат (в лабораторной системе) c получается как векторная сумма u и w:
c = u + w.
Будем параметры на входе в межлопастной канал снабжать индексом 1, а на выходе из канала - индексом 2. Тогда (рис. 3.2)
c 1 = u 1 + w 1, c 2 = u 2 + w 2.
Вектор w 2 направлен по касательной к поверхности лопатки у внешнего края рабочего колеса, и он составляет угол b2 с направление вектора u 2.
Выделим элементарную плоскую струйку жидкости с расходом dQ. Эта струйка составлена из линии тока с близкими по величине скоростями жидкости. Найдем момент сил, действующих на элементарную струйку.
Согласно определению, дифференциал момента силы может быть определен как
dM = r × dF = r × dJ ¢,
где J ¢ - скорость изменения импульса, его приращение в случае изменения массы dJ ¢ = c t× dm ¢ = r rc t× dQ, m ¢ = r× dQ - скорость изменения массы. Значит,
dM = r ×r c t× dQ.
Для рассматриваемой струйки нам необходимо учесть, что в выражении для момента сил, действующих на нее, должно быть учтено только изменение момента при движении жидкости от входа и до выхода из канала. Только такое изменение связано с работой колеса. Поэтому правильное выражение имеет вид
dM = r(r 2 c 2t - r 1 c 1t) dQ,
где c 1t, c 2t - тангенциальные составляющие векторов c 1 и c 2. Суммарный момент
.
При близко расположенных лопатках скорости c 1t, c 2t практически не зависят от Q (точнее, от полярного угла, отсчитываемого вокруг оси вращения колеса). Поэтому интеграл легко вычисляется и равен
M = r(r 2 c 2t - r 1 c 1t) Q.