Энергия заряженного конденсатора

Процесс возникновения на обкладках конденсатора зарядов + q и - q можно представить так, что от одной обкладки последовательно отнимаются очень малые порции заряда D q и перемещаются на другую обкладку. Работа переноса очередной порции равна

где U - напряжение на конденсаторе. Заменяя и переходя к дифференциалам, получим

Наконец, интегрируя последнее выражение, приходим к формуле для энергии заряженного конденсатора

(19.3)

Формулы (19.1) отличаются от формул (19.3) только заменой j на U.

С помощью выражения для энергии можно найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние между пластинами может меняться. Подставим в формулу (19.3) выражение для емкости плоского конденсатора, обозначив переменный зазор между обкладками через х (вместо d)

Теперь воспользуемся соотношением, связывающим потенциальную энергию и силу, причем будем считать заряд на обкладках постоянным (конденсатор отключен от источника напряжения):

(19.4)

(знак минус указывает на то, что сила является силой притяжения и стремится уменьшить х).

Модуль этой силы, иногда называемой «пондеромоторной силой», равен

Энергия электрического поля

Энергию конденсатора (19.3) можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подставим в (19.3) выражение для емкости плоского конденсатора, тогда

Но в однородном поле конденсатора ; произведение S×d представляет собой объем V, занимаемый полем. Таким образом, можно написать

(19.5)

Формула (19.3) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (19.5) - с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т. е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии - заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными (световыми) волнами, энергия, заставляющая звучать радиоприемник, приносится от передающей станции электромагнитными волнами и т. д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле.

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w, равной энергии поля, деленной на заполняемый полем объем. Следовательно, согласно (19.5), плотность энергии поля плоского конденсатора равна

(19.6)

Формула (19.6) справедлива и для неоднородного поля, лишь нужно учитывать, что E = E(r). Учтя соотношение D = ee_o E, ее можно записать в виде

(19.7)

или

(19.8)

В изотропном диэлектрике направления векторов Е и D совпадают. Поэтому формуле (19.7) можно придать вид

Заменив в этой формуле D его значением , получим для w следующее выражение:

(19.9)

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

Если требуется определить запас энергии электрического поля в пространстве, где закон распределения напряженности E = E(r) известен, то можно провести интегрирование по объёму:

(19.10)