Пример 1. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной см, течет ток силой А. Найти магнитную индукцию в точке О пересечения диагоналей квадрата.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 41). Расположим квадратный виток в плоскости чертежа. В точке О определим с помощью правила правого буравчика (векторного произведения) направления , , и , создаваемые токами, протекающими по каждой стороне квадрата.
1. Согласно принципа суперпозиции полей, результирующее поле в точке О
.
В точке О все векторы индукции направлены перпендикулярно плоскости витка («от нас»).
Из симметрии следует, что модули этих векторов одинаковы . Следовательно, .
2. Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой
,
где , , .
3. Получим расчетную формулу для первого элемента контура
.
4. Результирующая индукция в центре квадрата равна
.
5. Проведем вычисление
мТл.
Ответ: мТл.
Пример 2. С какой силой действует магнитное поле постоянного электрического тока силой А, текущего по прямолинейному бесконечно длинному проводнику, на контур из провода, изогнутого в виде квадрата? Проводник расположен в плоскости контура параллельно двум его сторонам. Длина стороны контура , сила тока в нем А. Расстояние от прямолинейного тока до ближайшей стороны контура .
|
|
Решение. Сделаем рисунок (рис. 42). Квадратная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока. Индукция магнитного поля бесконечного прямого тока
, (1)
где r - кратчайшее расстояние от оси проводника до точки, в которой рассчитывается B.
1. Вектор во всех точках рамки направлен перпендикулярно к плоскости рамки. Каждая из сторон рамки - прямолинейный проводник. Поэтому в пределах одной стороны все элементарные силы параллельны друг другу.
2. Стороны контура 2 и 4 одинаково расположены по отношению к прямолинейному проводнику, но направления тока в них противоположны, поэтому
.
Результирующая этих сил равна нулю.
3. Стороны контура 1 и 3 параллельны прямому току и находятся от него на расстояниях соответственно и . Силы и направлены в противоположные стороны. Поэтому результирующая сила
,
ее модуль
.
4. Подставив выражения для r в формулу (1) и учитывая закон Ампера, получим:
для первого элемента контура ;
для третьего элемента контура .
5. Получим расчетную формулу для результирующей силы действующей на контур
.
6. Выполним расчеты
Н.
Ответ: Н.
Пример 3. Плоский квадратный контур со стороной см, по которому течет ток силой , свободно установился в однородном магнитном поле ( Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
|
|
Решение. Изобразим контур с током в магнитном поле (рис. 43).
1. На контур с током в магнитном поле действуют силы Ампера, которые в данном случае образуют вращающую пару сил.
2. Вращающий момент пары сил по определению есть произведение плеча на силу и синус угла между ними:
.
3. С другой стороны можно записать
,
где - магнитный момент контура; j - угол между векторами и .
4. В начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом вращающий момент равен нулю , а, значит, , т.е. векторы и совпадают по направлению. Если внешние силы выводят контур с током из положения равновесия, то возникает момент сил, стремящийся возвратить контур в исходное положение - положение устойчивого равновесия. Против этого момента и будет совершаться работа внешних сил. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу для работы при вращательном движении в дифференциальной форме
.
Подставляя сюда выражение для M, получаем
.
Возьмем интеграл от этого выражения и найдем работу при повороте контура на любой конечный угол
.
5. Работа магнитного поля при повороте на угол
.
6. Выразим численные значения в единицах СИ: ; Тл; м.
7. Рассчитаем работу
Дж.
Ответ: Дж.
Пример 4. Квадратный контур со стороной , в котором течет ток 8,0 А, находится в магнитном поле с индукцией 0,50 Тл. Плоскость контура образует с направлением линий индукции угол . Какую работу совершат силы Ампера, если при неизменной силе тока в контуре его форму изменить с квадрата на окружность (рис. 44)?
Решение.
1. Работа сил магнитного поля равна
, (1)
где и - магнитные потоки сквозь площадь квадрата и окружности. Магнитное поле в пределах контура однородно, а поверхность контура плоская, следовательно
, (2)
учитывая это
; (3)
; (4)
; (5)
, (6)
где R - радиус окружности.
2. Периметры контуров равны: , откуда
. (7)
3. Подставляя (3)-(7) в (1), получаем расчетную формулу:
;
4. Выполним расчеты
Дж.
Ответ: Дж.
Пример 5. В однородном магнитном поле с индукцией Тл вокруг оси, параллельной линиям индукции, вращается тонкий проводящий стержень длиной . Ось вращения перпендикулярна к стержню и проходит через один из его концов (рис. 45). Угловая скорость вращения стержня . Найти разность потенциалов между концами стержня.
Решение. 1. Запишем уравнение электромагнитной индукции Фарадея:
, (1)
где dФ - элементарное изменение потока магнитной индукции, сцепленного со стержнем.
2. Разность потенциалов между концами стержня равна по модулю и противоположна по знаку ЭДС индукции , возникающей в нем при вращении в магнитном поле:
, (2)
где B - индукция магнитного поля; dS - площадь, описываемая стержнем за время dt.
3. Найдем элементарную площадь формируемую стержнем при его вращении
, (3)
где - угол поворота стержня за время dt.
4. Подставляем (3) в (2) и, используя, что , получаем расчетную формулу
. (4)
5. Выполним расчеты искомой величины
В.
Ответ: В.
Пример 6. В однородном магнитном поле с индукцией Тл движется протон. Траектория его движения представляет винтовую линию радиуса см с шагом см. Заряд протона равен Кл, масса - кг. Вычислить кинетическую энергию W протона.
Решение. 1. Составляющая скорости (см. рис. 46) не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Составляющая скорости под действием силы Лоренца непрерывно меняет направление, оставаясь постоянной по модулю.
Таким образом, протон участвует в двух движениях: равномерном прямолинейном со скоростью параллельно линиям индукции (вдоль оси OX) и по окружности со скоростью (постоянной по модулю) в плоскости YOZ.
|
|
2. Кинетическая энергия протона:
, (1)
где
. (2)
3. Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси OX за время T одного оборота) равен
, (3)
а период
, (4)
поэтому
. (5)
4. Второй закон Ньютона в случае криволинейного движения имеет вид
, (6)
отсюда найдем перпендикулярную составляющую скорости
. (7)
5. Подставляя выражения (5) и (7) в формулы (1) и (2), получим расчетную формулу для энергии
или ;
Дж.
Ответ: Дж.
Пример 7. Соленоид содержит витков. Сечение сердечника из немагнитного материала имеет площадь см2. Длина соленоида см. По обмотке соленоида протекает ток А. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает в соленоиде, если ток уменьшается практически до нуля за время мс.
Решение.
1. Основной закон электромагнитной индукции:
, (1)
где Y - потокосцепление контура, определяемое по формуле
, (2)
где L - индуктивность контура.
2. Объединяя (2) и (1), при , получаем:
. (3)
3. Среднее значение ЭДС самоиндукции
, (4)
где .
4. Индуктивность соленоида
, (5)
где n - число витков на единицу длины; магнитная проницаемость среды , магнитная постоянная Н/А.
5. Объединив (1)-(4) получим расчетную формулу:
; (6)
6. Произведем расчеты
В.
Ответ: В.
Пример 8. Найти энергию W магнитного поля катушки длиной , состоящей из витков, вплотную прилегающих друг к другу (стержень изготовлен из немагнитного материала). Диаметр катушки см, а сила тока мА.
Решение.
1. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток силой I, выражается формулой
. (1)
2. Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема сердечника
. (2)
Учитывая, что ,
, (3)
имеем
. (4)
3. Подставляя (4) в (1), получаем расчетную формулу
;
4. Выполним расчеты
Дж.
Ответ: Дж