Основные свойства средней арифметической

1. Произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведений отдельных значений признака на соответствующие им частоты:

Используя данные таблицы, получим следующее равенство:

2. При уменьшении или увеличении частот каждого значения признака х в А раз величина средней арифметической не меняется:

Так, в нашем примере было бы удобнее рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

Данное правило дает, таким образом, возможность:

1. Выражать многозначные числа частот в более компактных единицах измерения.

2. Заменять конкретные значения частот удельными весами, тогда:

,

если d выражена в %, или

,

если d представлена в долях единицы

.

3. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число А, то и среднее значение увеличится или уменьшится во столько же раз.

.

Предположим, что курс продажи в каждом случае возрастает в 1,2 раза, тогда и средний курс возрастет в 1,2 раза.

руб.

4. Если к каждому индивидуальному значению прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число А, то и средняя величина возрастет или уменьшится на это же число А:

.

Используя это правило, вычтем из значений курса акций 100 рублей. Тогда:

руб.

руб.

5. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю:

.

Тогда для нашего примера:

.

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую чаще всего применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. М= X · f).

Например, есть данные о реализации продукта одного вида на трех рынках города:

Рынки	Цена за ед. продукции (руб.)	Количество проданной продукции, шт.	Выручка от продажи, руб.
	Х	f	M
I
II
III
Итого	-

Требуется рассчитать среднюю цену, по которой продавался товар.

При расчете средней цены на один и тот же товар, который продается в трех разных торговых точках, необходимо выручку от реализации продукции поделить на количество реализованной продукции.

Предположим, мы располагаем только данными о ценах на трех рынках и о количестве товара, проданного на каждом из них. При этом цены на отдельных рынках выступают в качестве вариантов, а количество проданного товара – в качестве весов. Тогда средняя цена определится по средней арифметической взвешенной, то есть:

= руб.

Теперь предположим, что количество проданного товара неизвестно, а известны лишь цены и выручка от продажи. В этом случае логические рассуждения остаются теми же, но расчет следует записать в форме средней гармонической взвешенной.

Чтобы исчислить среднюю, обозначим x·f=M, откуда f=M / x. Преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по имеющимся данным x и M можно было исчислить среднюю.

В формулу средней арифметической взвешенной вместо x·f подставим M, вместо f – отношение M / x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

,

= руб.

Результат, как и следовало ожидать, получился тот же.

Рассмотрим еще один пример расчета средней гармонической взвешенной. Допустим, в результате проверки двух партий муки потребителям установлено, что в первой партии муки высшего сорта было 3942 кг., что составляет 70,4 % общего веса муки этой партии. Во второй партии муки высшего сорта было 6520 кг, что составляет 78,6 % общего веса муки этой партии. Необходимо определить процент муки высшего сорта в среднем по первой и второй партиям вместе.

Средний процент муки высшего сорта по двум партиям определяем по формуле средней гармонической взвешенной:

= или 75,3 %.

В том случае, если объемы явлений, т.е. произведения, по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая простая. К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средние затраты труда, времени, материалов на единицу продукции, не одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Например, две автомашины прошли один и тот же путь: одна со скоростью 60 км/ч, а вторая – 80 км/ч. Тогда средняя скорость составит:

= км/ч.

Таким образом,

= ,

где - сумма обратных значений вариант, n – число вариант.

Cредняя геометрическая – это величина, применяемая для расчета средних из относительных величин. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах средних темпов роста. Формула средней геометрической выглядит следующим образом:

,

где x – цепной коэффициент роста (варьирующий признак);

n – количество периодов, по которым имеются коэффициенты роста.

Предположим, имеются следующие данные о тепах роста товарооборота фирмы за ряд лет.

Годы
Темпы роста товарооборота (в %)	102,5	109,2	112,4	101,5

Определим средние темпы роста с 2000 по 2003 годы. Значение темпов роста переводим из процентов в коэффициенты и подставляем в формулу средней геометрической.

Таким образом, средние темпы роста товарооборота фирмы составляют 1,063 или 106,3 % в год.

Среднегодовые темпы роста могут рассчитываться с использованием другой формулы средней геометрической:

,

где у₁ – абсолютная величина явления в первом году периода;

у_n – абсолютная величина явления в последнем году периода;

n – количество лет периода.

Пример. Стоимость продукции, произведенной фирмой Х в 1991 г., составила 200000 долл., а в 1999 г. – 1200000 долл. Определим средние ежегодные (среднегодовые) темпы роста выпуска продукции фирмой Х:

Следовательно, средние ежегодные темпы роста составляли 1,251 или 125,1 %.

Удобство данной формулы состоит в том, что при расчетах не требуются данные за все годы периода.

Решение о том, какая из двух приведенных формул средней геометрической должна использоваться в каждом конкретном случае, принимается в зависимости от наличия исходных данных.

Применение средней геометрической справедливо, если годовые коэффициенты роста за последующие годы составляют непрерывно возрастающий (или непрерывно убывающий) ряд. В случае же, когда среди данных имеются показатели роста как больше, так и меньше 1, расчет приобретает условный характер, и это надо специально оговаривать.