Установление корпускулярно-волнового дуализма в оптических явлениях имело очень большое значение для дальнейшего развития физики. Впервые была выявлена двойственная – корпускулярно-волновая – природа физического объекта – электромагнитного излучения. В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Согласно гипотезе де Бройля каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия и импульс фотона связаны с круговой частотой и длиной волны соотношениями
(7.43.1)
По гипотезе де Бройля движущейся частице, обладающей энергией и импульсом , соответствует волновой процесс, частота которого равна
(7.43.2)
а длина волны
(7.43.3)
Как известно, плоская волна с частотой , распространяющаяся вдоль оси , может быть представлена в комплексной форме
|
|
(7.43.4)
где – амплитуда волны, а – волновое число.
Согласно гипотезе де Бройля свободной частице с энергией и импульсом , движущейся вдоль оси , соответствует плоская волна
, (7.43.5)
распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы
(7.43.6)
где импульс частицы, а - волновой вектор, получили название уравнений де Бройля.
Свойства волн де Бройля. Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего, следует отметить, что волны материи – волны де Бройля – в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам. Найдем фазовую скорость волн де Бройля , т.е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой. Пусть частица движется вдоль оси , тогда условие постоянства фазы волны (7.43.5) имеет вид
Дифференцируя это соотношение, находим
Поскольку а
где – масса покоя частицы, а – ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение
(7.43.7)
Так как < , то фазовая скорость волны де Бройля оказывается больше скорости света в вакууме . Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений.
|
|
Найдем теперь групповую скорость волны де Бройля. По определению
(7.43.8)
Преобразуем это выражение:
(7.43.9)
Энергия и импульс в теории относительности связаны между собой соотношением:
. (7.43.10)
Дифференцируя это выражение, находим
или
Отсюда
(7.43.11)
т.е. групповая скорость волны де Бройля равна скорости движения частицы .
В случае нерелятивистской частицы, скорость которой << , длина волны де Бройля равна
(7.43.12)
Если известна кинетическая энергия нерелятивистской частицы, то для длины волны де Бройля получаем выражение
. (7.43.13)
В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света в вакууме , длина волны де Бройля равна
(7.43.14)
Для релятивистской частицы связь между импульсом и полной энергией частицы определяется соотношением (7.43.10), длина волны де Бройля в этом случае равна
(7.43.15)
Полная энергия и кинетическая энергия релятивистской частицы связаны между собой соотношением:
(7.43.16)
Подставив (7.43.16) в (7.43.15), выразим длину волны де Бройля релятивисткой частицы через ее кинетическую энергию:
(7.43.17)
Найдем длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 150,4 В. В этом случае электрон будет нереятивистским. По формуле (7.43.13) получим:
Таким образом, при значении ускоряющей разности потенциалов в пределах от десятков вольт до нескольких киловольт де бройлевская длина волны электрона по порядку величины будет составлять 10-10 м, что сравнимо с величиной периода кристаллической решетки.
Найдем теперь длину волны де Бройля для макроскопического, но достаточно малого объекта – пылинки, масса которой = 1 г, а скорость = 1см/c. Используя соотношение (12), получаем:
м.
Найденная длина волны значительно меньше не только размеров самой пылинки, но и наименьшего известного в физике размера – радиуса ядра, составляющего по порядку величины 10-15 м. Такую длину волны экспериментально нельзя измерить.
Таким образом, волновые свойства частиц будут наиболее ярко проявляться в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы , т.е. ~ . В первом из разобранных выше примеров примеров дебройлевская длина волны электрона, размеры атома и расстояние между атомами в кристалле имеют один и тот же порядок величины. Это означает, что при взаимодействии электронов с атомами, а также при их движении в твердых телах волновые свойства электронов будут проявляться максимальным образом. В тех же случаях, когда << , как, например, для рассмотренной выше пылинки, волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики.