Аксиоматuзацuя - метод дедуктивного построения теории некоторой научной дисциплины или ее раздела, когда ряд утверждений принимается без доказательств (аксиомы или постулаты), а все остальное знание (леммы, теоремы, законы и др.) выводятся из них по определенным логическим правилам.
Аксиоматический метод впервые был успешно применен Евклидом для построения элементарной геометрии. В системе аксиом евклидовой геометрии за основные понятия приняты точка, прямая, плоскость, движение и отношения: точка лежит на прямой или на плоскости, точка лежит между двумя другими. Эта система аксиом (по акад. А.Д. Александрову) состоит из пяти групп: аксиомы сочетания, аксиомы порядка, аксиомы движения, аксиомы непрерывности, аксиомы параллельности. Так, например, группа сочетания включает в себя следующие аксиомы:
1. Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну.
2. На каждой прямой лежат, по крайней мере, две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой.
|
|
3. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
4. На каждой плоскости есть, по крайней мере, три точки и существует хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
5. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости.
6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку и, следовательно, общую прямую.
Однако со временем выяснилось, что аксиомы Евклида оказываются верными не только для описания геометрических объектов. Известный немецкий математик и логик Д. Гильберт писал: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С ,...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, в, с,...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем α, β, γ» (Гилъберт Д. Основания геометрии. - М., Л., 1948. - С. 56). А это значит, что под «точкой», «прямой» и «плоскостью» можно подразумевать любые системы объектов, свойства которых можно было бы описывать соответствующими аксиомами. Математик далее может их выразить соответствующими линейными уравнениями и формулами, интерпретировать их с помощью физических объектов - состояний механических, физико-химических, технических, технологических систем.
Наибольшее применение абстрактные аксиоматические системы получили в математике, где вместо оперирования числами, функциями, линиями, поверхностями, векторами и т.д. рассматривают различное множество абстрактных объектов, свойства которых точно формулируются с помощью аксиом. В естественных науках, использующих стабильные понятия, сложившийся уровень знания и его математизацию, в качестве примера аксиоматики служат теория электромагнитного поля Д. Максвелла, эйнштейновская теория относительности и др.
|
|
Для успешного построения аксиоматической теории необходимо выполнить минимум следующих важных требований:
1. Требование непротиворечивости, согласно которому в системе аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо предложение и его отрицание.
2. Требование полноты, согласно которому любое предложение, которое можно сформулировать в данной системе аксиом, можно в ней доказать или опровергнуть.
3. Требование независимости аксиом, согласно которому любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом, иначе она переводится в разряд теорем.
(Уместно здесь напомнить, что теорема (с греч. - рассматриваю, обдумываю) - это утверждение, предложение, устанавливаемое при помощи доказательств; формула аксиоматической теории, выведенная из аксиом на основе правил данной теории; обычно состоит из условия и заключения. Например, в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других острые, после слова «если» стоит условие, а после «то» - заключение. Вспомогательная теорема лемма (с греч. - польза, предположение) применяется в целях обоснования истинности другой теоремы).
Таким образом, независимо от природы отражаемых объектов аксиоматизация научных знаний через систему, во-первых, основных понятий, во-вторых, выбранных исходных утверждений в форме аксиом (постулатов), в-третьих, заранее сформулированных правил дедуктивного вывода теорем из аксиом, позволяет организовать объектное знание в компактные аксиоматические теории.
Отсюда видно, что метод аксuоматизации реализуется через следующие переходы:
1. Точное определение и формулировка системы исходных основных понятий некоторой содержательной концепции.
2. Образование из принятых понятий некоторого минимума аксиом (постулатов). В естественнонаучных теориях в роли постулатов выступают главные принципы, основные законы, фундаментальные факты, базисные гипотезы и др.
3. Формулировка системы правил вывода новых знаний из принятого множества аксиом или постулатов.
4. Преобразование по принятым правилам ограниченного числа аксиом или постулатов в теоремы или законы.
Современный аксиоматический метод стремится к предельному абстрагированию аксиом и постулатов. «Дальнейший шаг на пути отвлечения от содержания аксиом связан с их символическим представлением в виде формул, а также точным заданием тех правил вывода, которые описывают, как из одних формул (аксиом) получаются другие формулы (теоремы). В результате этого содержательные рассуждения с понятиями на такой стадии исследования превращаются в некоторые операции с формулами по заранее предписанным правилам. Иначе говоря, содержательное мышление отображается здесь в исчислении. Аксиоматические системы подобного рода часто называют формализованными синтаксическими системами, или исчислениями» (Рузавин Г. И. Методы научного исследования. - М., 1974. - С. 228).
Как видно, аксиоматический метод не только обеспечивает высокий уровень организации научного знания, но и максимально рационализирует научное исследование. Группа французских математиков 30-х годов ХХ века под псевдонимом «Никола Бурбаки», поставившая своей целью рассмотреть различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода, писала, что «аксиоматический метод является не чем иным, как «системой Тейлора» в математике» (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. - С. 253). Однако, чтобы научное исследование поставить на конвейер или передать компьютеру, который в автоматическом режиме из фиксированных исходных положений и правил вывода следствий из аксиом в форме различных вариантов новых теорем и законов, необходимо в первую очередь этот процесс максимально формализовать.