Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).
При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.
Таблица 2.4.1.
Объединение А В:
| Пересечение А∩В:
|
Разность: А\В
| Разность: В\А
|
Симметричная разность А∆В:
| Дополнение А’:
|
Примеры: Изобразить следующие множество с помощью диаграммы Венна
1) (АUВ)\(С∩А):
Таблица 2.4.2.
1)(АUВ)
| 2) (С∩А)
|
3) (АUВ)\(С∩А)
|
2) А∩В∩С;
а) А∩В
| б) А∩В∩С
|
3) В\(АUС);
а) АUС
| б) В\(АUС)
|
4) (ВΔА)\С.
а) ВΔА
| б) (ВΔА)\С
|
5) Выразить через множества А,В,С множество Е, которому соответствует заштрихованная область.
1. А∩В
| 2. В∩С
| 3.(А∩В)U(В∩С)
|
Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Это, так называемая, таблица вхождения элементов в множества, в которой рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых двух столбцах таблицы по правилу: 1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит. Получится четыре случая или четыре строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A U B, A ∩ B, A \ B, заполняются согласно определений этих операций (табл. 1).
Например, вторая строка в табл. 1 читается так: если элемент входит в A, но не входит в B, то он входит в А U В, не входит в А ∩ В, но входит в A \ B.
Примеры. 1) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (А U В) ’ = А ’∩ В ’
Из таблицы вхождения элементов в множества видно, что при различных вариантах вхождения элемента в множества А, В он входит или не входит в левую и правую части рассматриваемого равенства одновременно (см. четвертый и седьмой столбцы). Значит (А U В) ’ = А ’∩ В ’.
2) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (В U С) \ В = С.
Второй и четвертый столбцы не совпадают, поэтому это равенство неверное.
На координатной прямой множества изображаются в виде отрезка, концы которого показываются кружками: закрашенным кружком, если координата конца отрезка принадлежит множеству, в противном случае – не закрашенным кружком. Например, множество A = {x: − 2 < x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так:
Примеры: Даны множества:
1) A = { x: − 5 ≤ x ≤ 6}, B = { x: − 3 < x < 8},
2) A = { х: −3 < х ≤ 2} и B = { х: 0 ≤ х < 5},
3) C = { х: 2 < х < 4} и D = { х: 3 ≤ х ≤ 5},
4) E = { х: −3 ≤ х ≤ 2} и F = { х: 2 < х ≤ 5}.
Найдите пересечения множеств и покажите их на координатной прямой.
Решение:
1)Изобразим на координатной прямой множества А и В:
-3ÏВ, з начит, пересечению множеств Аи Вбудут принадлежать все точки полуинтервала (-3, 6].
Зададим его с помощью характеристического свойства: A ∩ B = { х: -3 < х ≤ 6}.
2) Изобразим на координатной прямой данные множества:
Множеству А и множеству В принадлежат все точки отрезка [0, 2]. Значит, пересечение множеств А и В можно изобразить на координатной прямой следующим образом:
Зададим его с помощью характеристического свойства: A ∩ B = { х: 0 ≤ х ≤ 2}.
3) Изобразим на координатной прямой множества
C = {
х: 2 <
х < 4} и
D = {
х: 3 ≤
х ≤ 5}:
4Ï C, з начит, пересечению множеств С и D будут принадлежать все точки полуинтервала [3, 4), точка 4 пересечению принадлежать не будет, т.е. C ∩ D = { х: 3 ≤ х < 4}.
4) Изобразим на координатной прямой множества
E = {
х: −3 ≤
х ≤ 2} и
F = {
х: 2 <
х ≤ 5}:
Видим, что и 2Ï F, т.е. множества Е и F не имеют общих элементов, значит, E ∩ F = Æ.
5) G = { х: −3 ≤ х < 5} и S = { х: 3 ≤ х < 10}. На координатной прямой изобразить разность множеств G и S и разность множеств S и G.
Решение: Изобразим на координатной прямой множества G и S:
Так как 3Î G и 3Î S, то 3Ï G \S. Значит, G\S= {-3≤ х <3}, S\G={5≤ х< 10}: