Пусть А, В, С – произвольные подмножества множества F. Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие законы:
1. – замкнутость операций объединения и пересечения,
2. , – коммутативность операций объединения и пересечения,
3. – ассоциативность операции объединения,
4. – ассоциативность операции пересечения,
5. – дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения,
6. – дистрибутивность операции объединения относительно операции пересечения,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. , – законы де Моргана.
Определение 12. Если для элементов множества определены операции объединения и пересечения , для которых выполняются данные законы, то тройка называется булевой алгеброй. Таким образом, если – семейство всех частей множества F, то – булева алгебра.
Отличие алгебры чисел от алгебры множеств:
Если а и b – два числа, то между ними может быть три соотношения: a > b, a < b, a = b. Для двух множеств А и В может не выполняться ни одно из соотношений: , , А = В.
|
|