1) - свойство коммутативности.
2) - свойство ассоциативности.
3) Если , то .
Рисунок 7
4) , .
5) - свойство дистрибутивности.
Проиллюстрируем свойство дистрибутивности на кругах Эйлера-Венна:
Рисунок 8
Докажем свойство дистрибутивности.
Определимся, для того, чтобы доказать равенство двух множеств, необходимо показать, что каждый элемент первого множества принадлежит второму и обратно – каждый элемент второго множества принадлежит первому.
Пусть и или и и или и или - что и требовалось доказать.
Таким образом, всякий элемент х из левого множества одновременно принадлежит и правому множеству. Доказательство обратного утверждения предлагаем читателю выполнить самостоятельно.
Дополнение
Операция дополнения определена лишь в случае, когда все изучаемые множества рассматриваются как подмножества некоторого универсального множества U.
Пусть . Дополнением к А называют множество всех элементов из U, не принадлежащих А. Дополнение обозначают : .
Например, рассмотрим - множество целых чисел и А – множество нечетных чисел. Тогда есть множество четных чисел.
Или, например, пусть - множество точек круга, а А – множество точек границы этого круга, (т.е. множество точек окружности), тогда - открытый круг.
Рисунок 9