Задача № 11

11.1. Система случайных величин имеет равномерное распределение внутри квадрата со стороной a. Диагонали квадрата совпадают с осями координат. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X,Y);

б) плотность распределения вероятностей каждой из случайных величин, входящих в систему.

11.2. Система трех случайных величин (X, Y, Z) распределена равномерно внутри цилиндра, ось которого совпадает с осью OZ и точкой O делится пополам. Радиус цилиндра равен R, а высота 2h. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X, Y, Z); б) плотность распределения каждой из случайных величин, входящих в систему.

11.3. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью распределения вероятностей , если и если . Найти: 1) a; 2) ; 3)дисперсии ;

4) коэффициент корреляции .

11.4. Система двух случайных величин (X,Y) подчинена нормальному закону распределения. Рассеивание круговое. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в круг, центр которого cовпадает с центром рассеивания, а радиус равен двум вероятным отклонениям (Вероятное отклонение где

= 0,476936).

11.5. Плотность совместного распределения вероятностей системы случайных величин X,Y имеет вид: , где Определить параметры распределения. Выяснить, зависимы или независимы случайные величины X, Y.

11.6. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y:

. Найти коэффициент A. Найти законы распределения случайных величин X, Y. Установить, зависимы или нет случайные величины X, Y.

11.7. Система двух случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью совместного распределения: . Определить коэффициент A и найти радиус круга с центром в начале координат, вероятность попадания в который равна P.

11.8. Система случайных величин (X,Y) имеет плотность совместного распределения

, где . Найти a. Написать выражение плотностей распределения случайных величин X и Y. Определить математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y.

11.9. Производится единичное бомбометание по прямоугольной наземной цели. Ширина цели равна 20 м, а длина 100 м. Прицеливание по центру цели. Оси рассеивания совпадают с направлением полета и с перпендикуляром к этому направлению. Вероятное отклонение в направлении полета равно 60 м, в направлении, перпендикулярном полету – 40 м. Систематические ошибки отсут-ствуют. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы. Указание: Вероятное отклонение

11.10. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Определить A. Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин, входящих в систему. Определить, зависимы или независимы случайные величины: X, Y.

11.11. Дана плотность совместного распределения случайных величин X, Y:

Определить вероятность попадания в прямоугольник:

y

(2;1,5)

(0;-1) (2;-1) х

11.12. Система случайных величин (X, Y) распределена с постоянной плот-ностью внутри квадрата. Найти плотности распределения случайных величин X, Y входящих в систему:

y

1

-1 1 x

-1

11.13. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

Область D - квадрат, ограниченный линиями x = 0; x = 3; y = 0; y = 3.

Найти: а) Коэффициент a; б) вероятность попадания случайной точки (x, y) в квадрат, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2; в)

11.14. Определить плотность распределения вероятностей, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если ,

11.15. Плотность совместного распределения случайных величин (X,Y): Определить: 1) коэффициент A; 2) законы распределения каждой из случайных величин, входящих в систему; 3) математичес-

кие ожидания каждой из случайных величин.

11.16. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Найти коэффициент a. Установить, являются ли величины зависимыми. Определить вероятность совместного выполнения двух неравенств x < -3; y < 4.

11.17. Координаты случайной точки (X,Y) раcпределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = 0, x = a, y = 0, y = b. Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R = a,если a > b, а центр круга совпадает с началом координат.

11.18. Координаты (X, Y) случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = a, x = b, y = c, y = d (в > a, d > c). Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы случайных величин X, Y. Выяснить, являются ли X, Yнезависимыми величинами.

11.19. Плотность совместного распределения случайных величин X, Y равна:

в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D- треугольник, ограниченный прямыми Найти а) ; б) коэффициент корреляции , дисперсии

11.20. Плотность совместного распределения системы случайные величины

(X, Y), заданной внутри круга радиуса R, равна . Опреде-лить: 1) постоянную C; 2) вероятность попадания в круг радиуса a < R, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

11.21. Плотность совместного распределения системы случайных величин

(X, Y): в области D и вне этой области. Область D определяется неравенствами Определить: a) постоянную a;

б) ; в) определить коэффициент корреляции r _xy.

11.22. Дана плотность совместного распределения системы случайных величин . Определить вероятность попадания случайной точки (x, y)в прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1).

11.23. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора (X, Y)имеет следующий вид: .

Вычислить: а) значение постоянной c; б) вероятность ); в) центр рассеивания.

11.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами соответственно l₁ и l₂. Найти вероятность

11.25. Функция совместного распределения двух случайных величин X и Y имеет следующий вид:

Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их зависимости или независимости.

11.26. Случайные величины X и Y независимы и распределены следующим образом: X - по закону N(1; 2), Y - по равномерному закону на отрезке [0; 2].

Найти вероятность следующих событий: , где область

D = {(x,y) / (0 x 2, 0 y 1); B = {X > Y}.

11.27. Случайная точка на плотности (X,Y) распределена по круговому нормальному закону (r_xy = 0, s_x = s_y = s = 1,) с центром рассеивания в начале координат. Вычислить вероятности следующих событий: A = {Y > X},

B = {çYç> X}, C = {Y < 3X}, D = {çXç < 1}, E = {X < 1, Y < 2}.

11.28. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора:

m_x = -2; m_y = 3 и ковариационная матрица . Записать выражение для плотности распределения вероятностей f(x, y) и вычислить вероятность попадания в эллипс рассеивания с полуосями a = 2s_x, b = 2s_y.

11.29. Определить вероятность попадания точки с координатами (X, Y) в область, определяемую неравенствами (1 £ X £ 2, 1 £ Y £ 2), если функция распреде-ления

11.30. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если плотность распределения вероятностей

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Задача 1. На рис. 1 и 2 изображены электрические схемы. Выключатели изображены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать через события - «включен выключатель с номером » для каждой схемы следующие события: - «ток идет» и - «ток не идет».

Рис. 1 Рис. 2

Решение. В схеме, приведенной на рис. 1, ток идет, если включены или 1 и 3 выключатели, или выключатель 2. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . В схеме (рис. 1) ток не идет, если выключены выключатель 2 и хотя бы один из выключателей 1 или 3. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . Иначе, используя свойства операций над событиями,

.

Для схемы (рис. 2) , .

Задача 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Как велика вероятность, что в нем: а) все цифры различные; б) все цифры нечетные?

Решение. а) Событие - все цифры различные. , где - число всех элементарных равновозможных событий, m - число элементарных равновозможных событий, благоприятных наступлению события . Пусть - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, причем цифры могут повторяться, поэтому . m - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, но цифры должны быть различными, поэтому (порядок для телефонного номера важен). Таким образом, .

б) Событие - все цифры нечетные. , - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 5 нечетных, причем цифры могут повторяться, поэтому . Таким образом,

Задача 3. Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

Решение. Пусть событие состоит в том, что на k-м конверте написан правильный адрес (). Искомая вероятность , так как события А₁, А₂, А₃ совместны, то

.

Для всех . Таким образом,

.

Задача 4. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной?

Решение. Пусть событие - деталь, взятая наудачу из бункера, бракованная. Событие может произойти только совместно с одним из следующих событий: - деталь изготовлена на 1-м станке, - на 2-м станке, - на 3-м станке. События образуют полную группу несовместных событий, поэтому

. Если принять производительность второго станка за k, то производительность первого станка - 3k, третьего – 2k. Тогда

Задача 5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Решение. Пусть событие - бракованных изделий окажется более трех.

- бракованных изделий не более трех.

где

.

.

Задача 6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Рассматриваются случайные величины:

- разность между числом попаданий и числом промахов; - сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин , ряд распределения. Найти их характеристики .

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения: (0 попаданий, 2 промаха), (1 попадание, 1 промах), (2 по-падания, 0 промахов). Вероятности значений случайной величины находятся по формуле Бернулли: .

Ряд распределения будет иметь вид

Х	-2

,

.

Случайная величина может принимать только одно значение: два с вероятностью, равной единице .

2

1

Задача 7. Дана функция

При каком значении функция является плотностью распределения случайной величины Найти функцию распределения случайной величины .

Решение. Из основного свойства плотности следует

.

Для .

Для .

Для

.

Для

.

Таким образом,

Задача 8. Время T между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с параметром : при . Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени . Если за время произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина - время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения: (за время не произошло сбоя), 2 (на первом промежутке сбой произошел, на втором промежутке сбоя не было), 3 (на первых двух промежутках длины сбои происходили, на третьем сбоя не было) и т. д.

.

Обозначим тогда - вероятность того, что за время сбой произошел; , и т. д.

Ряд распределения случайной величины

Х 2 ... ...

... ...

(вычисление суммы ряда смотри методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей, часть 2, стр. 15).

Задача 9. Известно, что детали, выпускаемые по размерам диаметра, распре-деляются по нормальному закону. Параметры этого закона , . Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 до 7 см.

Решение. где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение. Таким образом,

Х/Y 20 40 60 10 0 20 30

Задача 10. Закон распределения системы дискретных случайных величин

задан таблицей:

Найти: а) ; б) частные законы распределения случайных величин ;

в) , ; г) коэффициент корреляции ; д) вероятность попаданий

двумерной случайной величины в область ; .

Решение: так как

то .

Закон распределения случайной величины X

Х 10 20 30

Р , т. к. .

Закон распределения случайной величины Y

Y 20 40 60

P .

Отсюда:

Задача 11. Плотность совместного распределения системы двух случайных величин задана выражением .

Найти: а) коэффициент А; б) плотности распределения случайных величин , входящих в систему; в) определить зависимы или независимы случайные величины.

Решение. Из основного свойства плотности

Т.к.

случайные величины - независимы.