Доказательство. Докажем вначале, что в условиях теоремы для любого фиксированного k

Докажем вначале, что в условиях теоремы для любого фиксированного k

Действительно, сгруппировав множители входящие в p_k,n следующим образом

получим

Покажем теперь, что из сходимости

следует

сходимость

Действительно, определив множество A^* следующим образом

получим

Далее, так как на множестве A^*

для любого N получаем

Выбрав N достаточно большим, можно сделать вторую сумму сколь угодно малой, первую сумму после этого можно сделать также сколь угодно малой выбрав достаточно большое n.

Доказательство завершено.

При больших k рассчитать пуассоновскую вероятность гораздо легче, биномиальную. Пуассоновское распределение используется для приближения биномиального распределения в тех случаях, когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала.