Образец выполнения задания 2

Значения Величины Х

Значения величины Y

B-14

Промежутки изменения величины Х	Значения величины Y
0,6	1,1	2,2	7,5
n_ij
[0; 10] [10; 20] [20; 30] [30; 40] [40; 50]

B-15

B-16

B-17

Промежутки изменения величины Х	Промежутки изменения величины Y
[21; 29]	[29; 37]	[37; 45]	[45;53]
n_ij
[1,014; 1,022] [1,022; 1,030] [1,030; 1,038] [1,038; 1,046] [1,046; 1,054]

B-18

B-19

B-20

Промежутки изменения величины Х	Промежуточные изменения величины Y
[290;310]	[310;330]	[330;350]	[350;370]	[370;390]
n_ij
[300; 350] [350; 400] [400; 450] [450; 500] [500; 550] [550; 600]

B-21

B-22

Промежутки изменения величины Х	Промежуточные изменения величины Y
[30; 35]	[35; 40]	[40; 45]	[45; 50]	[50; 55]	[55; 60]
n_ij
[4,5; 5,0] [5,0; 5,5] [5,5; 6,0] [6,0; 6,5] [6,5; 7,0]

B-23

B-24

B-25

Значения величины Х	Промежуточные изменения величины Y
[10; 15]	[15; 20]	[20; 25]	[25; 30]	[30; 35]	[35; 40]
n_ij

Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным корреляционным таблицам:

а)

X Y									n_y
			¾	¾	¾	¾	¾	¾
				¾	¾	¾	¾	¾
	¾	¾				¾	¾	¾
	¾	¾	¾		¾
	¾	¾	¾	¾	¾	¾
n_x									n = 50

б)

X Y								n_y
	¾		¾	¾	¾	¾	¾
				¾	¾	¾	¾
	¾				¾	¾	¾
	¾	¾				¾	¾
	¾	¾	¾	¾			¾
	¾	¾	¾	¾	¾
n_x								n = 50

в)

X Y								n_y
	¾	¾	¾	¾	¾
	¾	¾	¾	¾	¾
	¾	¾				¾	¾
				¾	¾	¾	¾
			¾		¾	¾	¾
n_x								n = 50

Найти выборочное уравнение регрессии y_x = A x ² + B x + C и выборочное корреляционное отношение h_yx по данным корреляционной таблицы:

а)

X Y						n_y





n_x						n = 100

б)

X Y						n_y





n_x						n = 100

в)

X Y				n_y



n_x				n = 150

г)

X Y						n_y





n_x						n = 150

д)

X Y				n_y



n_x				n = 150

Найти выборочное уравнение регрессии x _y = A x ² + B x + C и выборочное корреляционное отношение h_xy по данной корреляционной таблице:

а)

X Y				n_y



n_x				n = 50

б)

X Y				n_y



n_x				n = 50

З а д а н и е 1. а) Наблюдения случайной величины Х показали, что она m_i раз приняла значение x_i_.Требуется определить частоты появления данных значений случайной величины, найти статистические оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, построить полигон частот и показать на нем математическое ожидание и среднеее квадратическое отклонение.

б) Дана выборка 20 наблюдений случайной векличины Х. Требуется составить ряд распределения этой случайной величины, найти статистические оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, построить гистограмму плотности частот и показать на ней математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Пример 1. Выполнить задание 1, а), воспользовавшись данными, приведенными в табл. 7.

Таблица 7.

x_i
m_i

Решение. Учитывая, что объем данной выборки

найдем частоты появления данных значений случайной величины

Определим оценки для числовых характеристик данной случайной величины по формулам (3), (4'), (5'), выполняя непосредственный счет на МК:

Cтроим полигон частот и показываем на этом же чертеже математическое ожидание и среднее квадратическое отклонеие (рис).

Пример 2. Дана выборка 20 наблюдений случайной величины:

13,4; 14,2; 10,4; 13,1; 9,6; 11,8; 16,6; 14,7; 9,5; 10,7;

11,8; 12,4; 11,5; 12,2; 10,5; 8,4; 15,2; 10,1; 17,3; 11,2.

Выполнить задание 1, б).

Решение. Располагаем исходные данные в порядке возрастания:

8,4; 9,5; 9,6; 10,1; 10,4; 10,5; 10,7; 11,2; 11,5; 11,8;

11,8; 12,2; 12,4; 13,1; 13,4; 14,2; 14,7; 15,2; 16,6; 17,3.

Видим, что диапазон изменения величины Х - интервал ]8; 18[.

Зная объем выборки (n=20), находим, что 1+3,32 log n = 5,16. Разобъем весь диапазон значений величины Х на k=5 равных промежутков, каждый из которых имеет длину Dх=2, и подсчитаем количество m_i попаданий данных выборки в каждый промежуток:

]8; 10[, m₁=3; ]10; 12[, m₂=8; ]12; 14[, m₃=4; ]14; 16[, m₄=3; ]16; 18[,m₅=2.

Определяем частоты попадания выборочных данных в каждый промежуток по формуле (*) и плотности частот по формуле (**). Все вычисления удобно записывать в виде табл. 8.

Таблица 8

x	[8; 10]	[10; 12]	[12,14]	[14; 16]	[16; 18]
m_i
p_i*	0,15	0,4	0,2	0,15	0,1
f_i*	0,075	0,2	0,1	0,075	0,05

Определим оценки для числовых характеристик данной случайной величины по формулам (3), (4'), (5')

Cтроим гистограмму плотности частот и на этом же чертеже показываем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонеие. (рис. 66).

Задание 2. По данным наблюдений двух случайных величин Х и Y требуется:

1. Найти выборочный коэффициент корреляции.

2. Подобрать тип сглаживающей кривой и методом наименьших квадратов определить его параметры.

3. Найти оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонеия величин Х и Y.

Образец выполнения задания 2.

Пример 3. Конденсатор, заряженный до некоторого напряжения, разряжается через сопротивление. Зависимость напряжения Y между обкладками конденсатора от времени Х зарегистрирована на участке времени 10 с. с интервалом времени в 1 с. Результаты измерений приведены в таблице 9. Требуется выполнить задание 2.

Х_i
Y_i

Решение. Для определения коэффициента корреляции и статистических оценок числовых характеристик величин Х и Y воспользуемся

Поле рассеяния имеет вид, изображенный на рис. 67 точками. Из теоретических соображений и по виду поля рассеяния можно заключить, что зависимость напряжения от времени должна иметь вид

Чтобы определить параметры а и b этой зависимости методом наименьших квадратов воспользуемся

Следовательно, уравнение сглаживающей кривой будет иметь вид

График этой кривой изображен на рис. 67.

Пример 4. В таблю 10 приведены результаты наблюдений двух величин: Х - диаметра пылинки (микрон) и Y - количества пор для выхода пыльцевых трубок оперделенного вида цветочной пыльцы. Требуется выполнить задание 2.

Решение. Обработку данных наблюдений, приведенных в табл. 10 осуществим с помощью программы, приведенной в §6. Действуя согласно инструкции, получаем

Близкое к единице значение коэффициента корреляции говорит о тесной линейной зависимости величины X и Y. На это же указывает и диагональный вид кореляционной таблю 10ю

Таблица 10

Промежуток изменения Х-диаметра пылинки, мкм	Центр промежутка x_i	Значение величины Y - количества пор.шт.

Число пылинок n_ij
]7,5; 12,5[ [12,5; 17,5[ [17,5; 22,5[ [22,5; 27,5[ [27,5; 32,5[ [32,5; 37,5[ [37,5; 42,5[ [42,5; 47,5[ [47,5; 52,5[ [52,5; 57,5[ [57,5; 62,5[