Критерий согласия Пирсона (вторая задача математической статистики)

Критерии согласия служат для оценки правильности аппроксимации данного статистического распределения теоретической кривой.

Пусть имеется статистическое распределение n значений случайной величины F^*(X) и имеется гипотеза H, состоящая в том, что величина x имеет функцию распределения F(x).

Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу H, рассмотрим некоторую величину (χ²), характеризующую меру расхождения теоретического и статистического распределений. Эта величина определяется следующим образом.

Представим статистическое распределение случайной величины F^*(X) в виде гистограммы с интервалом h и подсчитаем частоты попадания значения n_i функции F^*(X) в каждый интервал. Определим также вероятности p_i попадания в соответствующие интервалы теоретической функции F (x).

Мера расхождения χ²вычисляется по формуле:

χ²= = , (5.7)

здесь с_i – «вес» интервала, который берется равным с_i = ;

k – число интервалов;

p_i^*= - относительная частота попадания в i -й интервал значений функции F^*(X).

Очевидно, что мера χ²также является случайной величиной, зависящей от теоретического закона F (x) и числа опытов n.

Меру χ², вычисленную по формуле (5.7), сопоставляют с критическим значением χ²_кр, выбираемым по специальным таблицам в зависимости от надежности Р, с которой мы проверяем принятую гипотезу, а также от n – числа значений случайной величины F ^*(X) и числа степеней свободы r = k – v, где v – число параметров теоретического распределения плюс 1 (для нормального распределения v = 3).

Если окажется, что χ²≤ χ²_кр, то гипотезу H следует признать верной.

Пример.

Дана гистограмма значений прочности бетона, которая аппроксимируется нормальным законом распределения. Требуется проверить правильность этой гипотезы исходя из вероятности Р =0,9.