Изображение пространственных тел на плоскости основано на методе проецирования.
Представим некоторую заданную плоскость П 1 и точку А в пространстве (рис. 11). Луч, проведенный из точки S через точку А в направлении плоскости П 1, пересечет ее в некоторой точке А 1. Точку А называют проецируемой точкой, плоскость П 1, на которой получают проекцию, называют плоскостью проекций. Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А. Луч, при помощи которого находится проекция точки, называется проецирующим лучом.
Рис. 11 Проецирование точки на плоскость |
При центральном проецированиии (рис. 12) проецирующие лучи проходят через одну и ту же точку, называемую центром проецирования. При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров и некоторых других свойств предмета.
Рис. 12 Центральная проекция плоского треугольника
Рис. 13 Параллельная проекция плоского треугольника
Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, называется перспективой.
|
|
При параллельном проецировании используют «пучок» параллельных проецирующих лучей, проходящих через все точки проецируемого предмета (рис. 13).
В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости проекций параллельное проецирование бывает прямоугольным – когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольным – проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости проекций. Прямоугольные проекции называют также ортогональными.
Рассмотрим основные свойства ортогонального проецирования.
1. Точка проецируется в точку (проекцией точки является точка).
2. Прямая, в общем случае, проецируется в прямую. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в точку.
3. Если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой.
4. Пересекающиеся прямые в общем случае проецируются в пересекающиеся прямые. Это легко доказать, если для точки пересечения прямых применить свойство 3.
5. Параллельные прямые в общем случае проецируются в параллельные прямые.
6. Отрезок проецируется в отрезок. Отрезок, перпендикулярный плоскости проекций, проецируется в точку. Длина проекции отрезка равна длине отрезка, умноженной на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций (при проецировании на П 1: | A 1 B 1| = | AB | cos α).
Отрезок параллельный плоскости проекций проецируется на нее в параллельный и равный себе отрезок.
7. Отношение длин отрезков AB и CD, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой, при проецировании не меняется.
8. Фигура, принадлежащая плоскости параллельной плоскости проекций, проецируется на плоскость проекций в равную ей фигуру (в натуральную величину).
9. Если две плоскости проекций параллельны, то проекции любой фигуры на эти плоскости равны.