Графическое решение задачи

Это решение рассмотрим на примере расчета использования грузоподъемности и грузовместимости судна. Сущность этой задачи состоит в определении такого количества груза q₁ и q₂, которое позволяет использовать чистую грузоподъемность Д(чистая) и грузоподъемность судна W.

В зависимости от цели и ограничений постановка задач может иметь различный вид.

Определение количества грузов для полного использования грузоподъемности – грузовместимости без учета фрахта за их перевозку, ведется путем совместного решения 2-х уравнений:

(2.2.1.)

u₁ и u₂ – удельный погрузочный объем, объем занимаемый 1 т. груза

Пример:

D=1000т

W=1500 м³

q₁=1000-q₂

0,5(1000-q₂)+2q₂=1500

500-0,5q₂+2q₂=1500

500+1,5q₂=1500

1,5q₂=1000

q₂=667т

q₁=1000-667=333 т

Такая постановка задачи является очень жесткой и не учитывает ни возможные ограничения по количеству или объему перевозимых грузов, ни стоимость (фрахт) полученный в результате перевозки этих грузов.

Расчет оптимального использования грузоподъемности и грузовместимости осуществляется методом линейного программирования. При этом математическая модель задачи для двух грузов будет иметь вид:

1) q₁+q₂ £D_ч– ограничения по грузоподъемности (2.2.2.)

2) u₁q₁+u₂q₂£W – ограничения по грузовместимости (по объему) (2.2.3.)

ограничение по количеству отдельных грузов (2.2.4.)

или

ограничение по объему отдельных грузов (2.2.5.)

7) L=C₁q₁+C₂q₂Þmax (min) (2.2.6.)

C₁ и C₂ – затраты по перевозке 1 т. груза при решении задачи на min;

C₁ и C₂ – оценка фрахта тонны перевозимого груза при решении задач на max.

Для графического решения задачи выбираем масштаб построения и в прямоугольной системе координат q₁ и q₂ производятся следующие построения.

Заменяют во всех ограничениях знаки неравенства на знаки равенства и в заданном масштабе строят линии соответствующие этим равенствам. Первых два неравенства дают наклонение линии 1 и 2 (рис.2).

Рис. 2. Определение области допустимых решений (ОДР).

На полученных линиях отмечают стрелками полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам исходных условий. Проанализировав линии ограничений и полуплоскости их удовлетворяющие, находим область допустимых решений (ОДР).

Любая точка в пределах этой области или на ее границах имеет такое значение q₁ и q₂, которые удовлетворяют исходным условиям задачи.

Для отыскания точки в ОДР для которой целевая функция L будет max(min) первоначальной величине L предписывают положительное число. Используя это число по уравнению L строят предварительную линию, чтобы получить направление целевой функции в системе координат q₁ и q₂: на рис.2. это линия L¢. Оптимальное решение задачи находят перемещая параллелью самой себе линию целевой функции до самой удаленной от начала координат точки ОДР, если L®max, или наоборот.

Координаты найденной точки и есть оптимальное решение задачи, т.е. найденные величины q ₀₁ и q ₀₂ показывают то количество грузов при котором не нарушаются требования исходных ограничений, а целевая функция достигает max или min. На рис. 2. это линии L= max и L= min соответственно.

Значение q ₀₁ и q ₀₂ показывает количество грузов при перевозке которых выполняются все условия заложенные в модель задачи и судно будет давать наилучшие показатели работы при данных условиях.

Наглядность графического решения позволяет проанализировать при каких изменениях условий работы возможно получение лучших результатов, чем допустимых по данным условиям. При этом ограничения, участвующие в формировании ОДР называются существенными. Поэтому при данных значениях коэффициентов L в первую очередь следует рассмотреть влияние тех линий (ограничений), которые пересекаются в точке – оптимального решения. Поскольку наклон линии целевой функции L зависит от коэффициентов С₁ и С₂, то отклонение этой линии от границ ОДР показывает, что при некотором изменении С₁ и С₂ оптимальное решение не изменится.