Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть 2 исхода: успех с вероятностью или неудача с вероятностью , при этом (). Испытания проводятся до первого успеха. Случайная величина – число испытаний до первого успеха. Найдем распределение случайной величины . Пространство элементарных событий

. Согласно предположению о независимости испытаний в соответствии с теоремой умножения вероятностей . Это означает, что , где . Ряд распределения имеет вид

				…		…
				…		…

Такое распределение называется геометрическим, так как членами ряда распределения являются члены геометрической прогрессии.

Функция распределения случайной величины

Если случайная величина имеет геометрическое распределение, то справедливо равенство

Действительно,

Это равенство означает отсутствие последействия. Условная вероятность того, что , если , совпадает с безусловной вероятностью того, что .

Пример 1. Телефонные разговоры. Пусть длительность телефонного разговора измеряется целым числом минут. В начале каждой минуты с вероятностью принимается решение закончить разговор и с вероятностью его продолжить. Тогда длительность телефонного разговора будет случайной величиной, имеющей геометрическое распределение. Условная вероятность того, что телефонный разговор будет продолжаться ровно минут, если известно, что он не закончился за минуту, совпадает с безусловной вероятностью того, разговор будет продолжаться ровно минут, т.е. вероятность появления значения случайной величины не зависит от того, наступало событие или нет. Это означает, что предыстория не влияет на вероятность появления события в ближайшем будущем

Среди всех дискретных распределений свойством отсутствия последействия обладает только геометрическое распределение.

Пример 2. Пусть стохастический эксперимент – бросание монеты до появления герба. Вероятности успеха и неуспеха равны соответственно , . Случайная величина – число бросаний до появления герба имеет геометрическое распределение. Ряд распределения