Задачи па экстремум

Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом. Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции y=х, заданной на множестве σ, и определить значение проектного параметра х Є σ, при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Существование решения поставленной задачи вытекает из следующей теоремы.

Теорема Вейерштрасса. Всякая функция F(х), непрерывная на отрезке [а, b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, т.е. на отрезке [а, b] существуют такие точки х₁ в х₂, что для любого х Є [а, b] имеют место неравенства

Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремальных значений сразу в нескольких точках данного отрезка. В частности, такая ситуация имеет место для периодической функции, рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.

Будем рассматривать методы оптимизации для разных классов целевых функций. Простейшим из них является случай дифференцируемой функции F(х) на отрезке [а, b], причем функция задана в виде аналитической зависимости у = F(х), и может быть найдено явное выражение для ее производной ‚ . Нахождение экстремумов таких функций можно проводить известными из курса высшей математики методами дифференциального исчисления. Напомним вкратце этот путь.

Функция ‚ может достигать своего наименьшего и наибольшего значений либо в граничных точках отрезка [а, b], либо в точках минимума и максимума. Последние точки обязательно должны быть критическими, т. е. производная в этих точках обращается в нуль, — это необходимое условие экстремума. Следовательно, для определения наименьшего или наибольшего значений функции ‚ на отрезке [а, b] нужно вычислить ее значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.

Случай, когда целевая функция задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента, используются различные методы поиска. Они основаны на вычислении целевой функции в отдельных точках и выборе среди них наибольшего или наименьшего значений. Существует ряд алгоритмов решения данной задачи. Рассмотрим некоторые из них.