Сложные конкурсы исполнителей

В более сложных конкурсах, когда подбираются исполнители операций проекта, каждый участник может претендовать на право реализации различных операций.

Обозначим A_ij - минимальную цену, по которой участник i еще берется – за операцию j. S_ij - цепа за операцию, предлагаемая участником i (очевидно, S_ij >= A_ij)

Центр (руководитель проекта) должен назначить все операции гак, чтобы суммарная стоимость их реализации была минимальной. Примем, что каждый участник берется за реализацию не более, чем одной операции. Для формализации задачи принятия решений ПМ обозначим X_ij = 1, если операция j назначается участнику i и X_ij = 0 в противном случае. Тогда задачу распределения операций мо исполнителям можно представить в виде следующей математической задачи:

При этом стоимость j-ой операции .

Фактически здесь предлагается несколько конкурсов (по числу операций) связанных между собой условием, что участник может быть победителем только на одном из них (то есть может получить только один проект). Анализ данного конкурсного механизма в существенной степени зависит от соотношения числа проектов и числа операций.

Рассмотрим сначала случай, когда число участников равно числу операций.

Пусть S = {Sjj} - некоторая ситуация (совокупность цен, предлагаемых участниками), a X_ij(S) - соответствует решению задачи назначения. Заметим, что если участник увеличит цены всех операций на одну и ту же величину S_ij’ = S_ij + D_i, j=1,n, то решение задачи назначения не изменится, и участник получит ту же операцию, но по более высокой цене. Поэтому, естественно, возникает тенденция роста цен. До каких пор? Ограничим цену каждой операции некоторой величиной L_j (лимитная цена операции). Ясно, что хотя бы по одной операции каждый участник предложит лимитную цену.

Пусть участники перенумерованы таким образом, что в оптимальном решении задачи назначения операций при S_ij = A_ij, операцию i получает участник с номером i, и поэтому Ц_i = S_ij. Примем начальные цены Ц_i⁰ = L_i, а начальные оценки S_ij⁰ = L_i. Далее проводим корректировку оценок и цен по формулам:

S_ij = min(L_i, Ц_i + A_ij + A_ii);

Ц_{ij =} min(L_j, S_ij).

Можно показать, что эта процедура конечна и в результате будут получены равновесные оценки {S_ij*} и, соответственно, равновесные цены Ц_i^* = S_ii^*, i=1,n.

Для нас важно, что отправной точкой процедуры являются максимальные (лимитные) цены. Более того, хотя бы одна операция будет назначена по лимитной цепе.

Таким образом, случай распределения равного числа участников и операций лишь условно можно считать конкурсным механизмом. Скорее он близок к монопольному варианту финансирования операций. Это особенно очевидно, если каждый участник специализируется на определенном виде операций, например, участник i специализируется на операции i.