Поле температур и поле тепловых потоков

Выше было сказано, что возникновение теплового потока связано не с абсолютным значением температуры тела, а с наличием разности температур в различных его точках. Но разности темератур можно приписать вполне определенное направление, а именно: если соединить прямой две точки тела, то разность между их температурами можно считать положительной в направлении более высоких температур и отрицательной в направлении более низких температур.

Соединим сплошными линиями все точки некоторого плоского сечения тела, имеющие в данный момент времени одинаковую температуру. В трехмерном пространстве эти линии равных температур (изотермы) перейдут в соответствующие изотермические поверхности. Такое пространственное

геометрическое место точек, в которых рассматриваемая физическая величина имеет одинаковое значение, называется поверхностью уровня. Очевидно, что поверхности уровня, и в частности интересующие нас изотермические поверхности, никогда не пересекаются друг с другом, ибов данной точке пространства в данный момент времени возможно только одно значение данной физической величины.

Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении может быть охарактеризована густотой (плотностью) изотерм на некотором линейном отрезке Ds, т.е. производно ¶Т/ ¶s.

Если отрезок направлен по касательной к изотерме, то температура на бесконечном малом удалении от данной точки в этом направлении не меняется, и в таком случае ¶Т/¶ s = 0. Наоборот, в направлении нормали к изотерме значение ¶Т/¶s будет наибольшим, так как в это направлении расстояние между двумя изотермами наименьшее. Следовательно,

(¶Т/¶s)_макс= ¶Т/ ¶п

Вектор п dТ/dп называется температурным градиентом (grad T) и определяет наибольшую скорость изменения температуры по нормали к изотерме в данноцй точке пространства. Очевидно, что температурный градиент как производная существует тогда, когда поле является непрерывным, а функция

Т = Т (x; y;z; t),

Выражающая математически это поле, дифференцируема:

Таким образом, скалярному полю температур соотвествует векторное поле температурных градиентов, а условие возникновения теплового потока можно формулировать как условие неравенства нулю величины grad Т.

Соответственно этому тепловой поток направлен по линии температурного градиента, в обратную сторону по отношению к последнему.