Рассмотрим эллипс

.

Пусть k —угловой коэффициент какого-нибудь его диаметра. Проведем параллельно этому диаметру хорды эллипса; геометрическое место их середин есть другой диаметр, который называется сопряжен­ным первому. Он имеет угловой коэффициент определяемый равен­ством (5), или

(18)

Будем теперь искать диаметр, который сопряжен диаметру с угловым коэффициентом k'; аналогично предыдущему, угловой коэффициент k" этого нового диаметра определится равенством

.

Отсюда и из (18) находим: k"=k.

Таким образом, если один из двух диаметров эллипса сопряжен другому, то последний сопряжен первому. Поэтому такие диаметры называются взаимно сопря­женными.Соотношение (18) называется условием сопря­женности диаметров (эллип­са) с угловыми коэффициентами k и k'.

Рис. 69.

Взаимность сопряжен­ных диаметров можно выра­зить еще так: если один из двух диаметров эллипса де­лит пополам хорды, парал­лельные другому, то последний делит пополам хорды, параллельные первому (рис. 69; этот чертеж иллюстри­рует также интересное след­ствие предыдущего предложения: касательные к эллипсу в концах его диаметра параллельны между собой и параллельны сопряженному диаметру).

Все, что было сейчас сказано о диаметрах эллипса, непосредст­венно переносится на диаметры гиперболы. Только условие сопря­женности диаметров гиперболы несколько отлично от соотношения (18).

Именно, если гипербола задана уравнением

,

то условие сопряженности ее диаметров с угловыми коэффициентами k и k' есть;

(19).

Оно вытекает из равенства (11).

Замечание. Оси симметрии эллипса и гиперболы суть взаимно сопряженные диаметры, так как каждая из них делит пополам хорды, параллельные другой. Среди всех остальных пар сопряженных диа­метров оси симметрии выделяются тем, что являются диаметрами не только сопряженными, но и перпендикулярными друг к другу.