Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решетчатых функций.
Как известно, непрерывная функция времени имеет изображение по Лапласу:
.
Если в эту формулу подставить текущее время в виде , где k = 1, 2,..., то интеграл можно заменить суммой
(2.1)
или в относительных единицах при q = рТ
. (2.2)
Для смещенных функций
. (2.3)
Дискретное преобразование Лапласа имеет смысл только в том случае, если ряд, стоящий в правой части уравнений (2.2), (2.3) сходится.
Параметр преобразования q в общем случае – комплексное число .
Чем больше значение σ, тем быстрее сходится ряд (2.2).
Абсциссой сходимости называется такое значение , для которого при ряд сходится, а при расходится.
Изображение решетчатой функции в комплексной плоскости есть периодическая вдоль мнимой оси функция
.
Поэтому функция F (q) полностью определена в полосе, соответствующей .
Обратное преобразование Лапласа производится по формуле
,
где – символ обратного дискретного преобразования Лапласа,
|
|
с – произвольная постоянная, удовлетворяющая условию .
Для смещенной решетчатой функции
.