Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0, (3)
где Р(х;у) и Q(x;y) — известные функции. Уравнение (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому.
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является функция у = х2, а также
у = х2 + 1, у = х2 – ln2и вообще у = х2 + с, где с = const.
Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при х = хо функция у должна быть равна заданному числу yо, т.е. у = yо называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде
. (4)
Теорема Коши (существования и единственности решения для ДУ 1 порядка). Если в уравнении (2) функция f(x; y) и ее частная производная f¢y(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (хо;уо), то существует единственное решение у = j(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (4).
|
|
(Без доказательства).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (хо;уо).
Итак, теорема Коши определяет существование единственного решения дифференциального уравнения первого порядка.