Решение уравнения (6) может быть сведено к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными. Для этого положим y = u × n (7), где u = u (x), n = n (x) – непрерывные и дифференцируемые функции.
Чтобы, (7) было решением, необходимо, чтобы это равенство удовлетворяло уравнению (6).
Найдём y¢ = u¢n + n¢u и подставим в (6)
u¢ n + n¢u + P (x) × u × n = Q (x) или
u¢n + u (n¢ +P (x) × n) = Q (x) (8)
Имеем одно дифференциальное уравнение (8), содержащее две неизвестных функции. Так как число неизвестных больше числа уравнений, то одно неизвестное можно выбрать произвольно. Выберем n (x) так, чтобы скобка в (8) обратилась в нуль, т.е положим
n¢ + P (x) n = 0 (9)
Тогда уравнение (8) примет вид:
u¢n = Q (x) (10)
Из уравнения (9) найдём V (x). Это уравнение с разделяющимися переменными:
= - P (x) × n; = - Þ ln = -
V = e - .
Найденное n подставим в уравнение (10):
|
du = e × Q (x) dx Þ
Найденные u и n подставим в (7) и получим общее решение линейного уравнения (6).
y = .
Замечание. 1. Находя n, мы не ввели произвольную постоянную, так как использовали произвол в выборе n, т.е. положили с = 0, тем самым взяли частное решение уравнения (9).
Замечание. 2. Уравнение R (x) y' + P (x)y = Q (x), где P (x), R (x) – непрерывные функции, также является линейным и приводится к виду (6) после деления на R (x).
Замечание. 3. Дифференциальное уравнение может быть линейным относительно x и x ' как функций от y, т.е. иметь вид:
x¢ + P (y) x = Q (y)
Решение по методу Бернулли:
x = u × n, где u = u (y), n = n (y)
Пример. Найти общее решение уравнения:
cos x × y¢ + sin x × y = 2 x cos x 2 x
y = un; y¢ = u¢n + n¢u
u¢n + n¢u + tg x × u × n = 2x cos x
u¢n + u (n¢ + tg x × n) = 2x cos x
1. n¢ + tg x × n = 0 Þ = -tg x dx Þ ln = ln Þ n = cos x
2. u¢n = 2xcos x; u¢ cos x = 2x cos x; = , u =
3. y = u × n =
4.y = cos x - общее решение.