Изображение выходного сигнала системы управления X(s) может быть найдено как произведение изображения входного воздействия G(s) на передаточную функцию W(s)
X(s) = G(s)·W(s). (1)
Если на вход САУ подаётся единичное воздействие g(t)=1[t], то реакция системы на это воздействие называется переходной функцией и обозначается как h(t). Изображение выходного сигнала при этом будет:
. (2)
Следовательно, чтобы найти переходную функцию необходимо взять обратное преобразование Лапласа от входного сигнала.
. (3)
Импульсной функцией называется реакция системы на δ- воздействие. Учитывая, что изображение δ(t)-функции равно 1, импульсную функцию можно найти, как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции системы
. (4)
где - импульсная функция системы.
Оригинал может быть найден в результате обратного преобразования Лапласа над его изображением
(5)
Вычисление оригинала может быть произведено с помощью вычетов по формуле
(6)
где полюсы функции . При t< 0 следует положить
Рассмотрим случай, когда изображение является дробно-рациональной функцией, т.е представляет собой отношение двух многочленов
|
|
(7)
причём m<n и коэффициенты и - действительные. Вычислив корни знаменателя , представим это изображение в виде
(8)
Здесь - кратность корня , причём
Нахождение вычета в полюсе , кратности при t> 0 производится по формуле
ResX(s) est = (9)
Пусть все корни знаменателя изображения X(s) простые, т.е ki(i= 1,2 ,…,n). Так как a 0 (si – s 1 ) (si – s2)… (si – s i-1 )…(si - sn)= в этом случаи можно вычислить по формуле
t>0.
При наличии у многочлена A(s) пары мнимых корней s1=jω1, s2= ̶ jω1 имеем
A(s)=(s-jω1)(s+ jω1)A2(s)=(s2+ω12)A2(s).
x(t)= .
Первые два слагаемых в правой части этого равенства являются комплексно-сопряженными величинами, при сложении их вещественные части удвоятся, а мнимые уничтожатся,
x (t) = Re .
Пример 1.
Найти импульсную функцию для мпульсная функция определяется, как . Изображение имеет единственный полюс к кратности . Получим
Пример 2.
Найти импульсную функцию для .
Импульсная функции .
Пример 3.
Найти импульсную характеристику колебательного звена .
Импульсная функция .
Полюса W(s) имеют кратность 1 и являются комплексно-сопряженными
На основании формулы 9 получим:
.
Выполнив сокращение одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе, выносим одинаковый для обоих слагаемых множитель получим:
учитывая, что ,
окончательно получим:
Второй способ нахождения оригинала x (t) по известному изображению X (s) заключается в разложении изображения
, m < n на простые дроби.
Это разложение правильной дроби на простые дроби связано с разложением её знаменателя на простые множители. Каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается единственным способом на вещественные множители вида и при этом квадратные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные множителями. Вынося старший коэффициент многочлена можно записать разложение этого многочлена в виде:
|
|
где натуральные числа.
В алгебре устанавливается, что каждому множителю вида в разложении знаменателя правильной дроби отвечает группа из простых дробей:
,
а каждому множителю вида (s2+ ps + q) l - группа из l простых дробей:
причем - числовые вещественные коэффициенты.
Значение этих коэффициентов определяются следующим образом. Зная форму разложения дроби выполняют операцию сложения. В результате получаем дробь, знаменатель которой равен A (s), а числитель будет представлять многочлен степени не больше , с коэффициентами, зависимыми от A 1, A 2… Ak, M 1… Ml, N 1… Nl. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях этого многочлена к коэффициентам многочлена получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решение этой системы даст численные значения коэффициентов.
Пусть дано рациональное выражение .
Её разложение на простые дроби будет иметь вид:
Коэффициенты A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 определяем исходя из равенства
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа получим систему из пяти уравнений.
s4 A 1+ A 2
s3 -2 A 2+ A 3=0
s2 2 A 1+ A 2-2 A 3+ A 4=2
s1 -2 A 2+ A 3-2 A 4+ A 5=13
s0 A 1+2 A 3-2 A 5+ A 5=13
Откуда A 1=1, A 2=-1, A 3=-2, A 4=-3, A 5=13.
Окончательно
Теперь чтобы найти оригинал от изображения надо найти оригинал от каждой из простых дробей и полученные оригиналы сложить. Для нахождения оригиналов от простых дробей можно воспользоваться таблицей соответствия между оригиналами и изображениями.
Пример 4.
Найти переходную функцию для .
Переходная функция определяется как:
.
Представим в виде суммы простых дробей.
Коэффициенты А1, А2, А3, А4 найдем из тождества:
T 2 s+ 1 =A 1 (T 1 s+ 1 )(T 3 s+ 1 ) 2 +A 2 s(T 3 s+ 1 ) 2 +A 3 s(T 1 s+ 1 )(T 3 s+ 1 )+A 4 s(T 1 s+ 1 )
Откуда:
Предположим, что для заданных значений определено численное значение Пользуясь таблицей соответствия между изображениями и оригиналами найдём
.