Метод вариационного исчисления

Рассмотрим задачу с закрепленными концами, и функционал в форме Лагранжа.

, задача Y-? Min J.

Существует теорема Эйлера, которая гласит, что если некоторая функция Y составляет экстремум функционалу J, то она должна удовлетворять уравнению:

(1)

решения уравнения (1) называют экстремалями.

Пример: Пусть необходимо переместиться по кратчайшей траектории из точки в точку

Длина элементарного участка кривой

уравнение Эйлера будет иметь вид:

По уравнению Эйлера невозможно решить, является ли найденный экстремум минимумом или максимумом. Поэтому в вариационном исчислении в дополнение к уравнению Эйлера используется так называемое условие Лежандра.

- гарантирует минимум функционала J на экстремуме.

Пример:

по уравнению Эйлера:

значит .

- гиперболы – экстремумы

из граничных условий:

.

т.е. минимум.

Для сравнения рассмотрим функционал от прямой, составим эти точки, прямой, составим эти точки, y=5-t.

Для случая Y – вектор Y={X,U}, то для отыскания экстремума такого функционала приходится решать систему уравнений.

тогда, условие минимума в экстремуме (условие Лежандра) будет иметь вид:

Для более общей постановки задачи оптимизации – при наличии ограничений в вариационном исчислении используют следующие преобразование.

,

где - функция, называемая множителем Лагранжа:

тогда уравнение Эйлера трансформируется в

и дополняется уравнением

.

Для случая m ограничений имеем:

Пример:

Электродвигатель постоянного тока, осуществляющий перемещение исполнительного механизма. Известно, что нагрев якоря пропорционален квадрату тока, с другой стороны, момент на валу пропорционален сумме сил статического сопротивления. Задача: как регулировать ток якоря, чтобы нагрев за время Т был минимальным.

Адаптивные САУ. Включение ЭВМ в контур. управления.

Распределенные САУ.

Процесс проектирования САУ предполагает. Что известны параметры объекта управления, внешние воздействия и режимы работы. В результате будут определены структура и параметры САУ, удовлетворяющие заданным требованиям к точности и качеству процесса управления.

Однако часто значение параметров (или) математическое описание объекта управления известны лишь приближенно. Или для определенного объекта управления плохо известны законы изменения его параметров в процессе управления. В этих случаях возникает необходимость в создании САУ, в которой параметры (а иногда и структура) автоматически настраивались таким образом, чтобы получающийся в ходе эксплуатации процесс управления удовлетворял заданным требованиям. Подобные САУ называются самонастраивающимися.

Самонастраивающиеся системы могут использоваться и в случаях, когда:

- САУ работает в условиях больших диапазонов изменения внешних воздействий (или при значительной их неопределенности);

- Требование обеспечения заданной точности САУ связаны с необходимостью изготовления сверхточных – дорогостоящих элементов.

Самонастраивающиеся системы являются одной из разновидностей адаптивных САУ. Адаптация – означает самоприспособление САУ к условиям функционирования, к неизвестным объектам и путям достижения цели. Кроме самонастройки. Адаптивные САУ обладают свойством самообучения.

Самонастраивающиеся САУ может быть реализованы с помощью:

-

замкнутого контура самонастройки (при этом самонастройка производится по какому-либо показателю качества процесса управления, текущее значение которого определяется в процессе работы). Пример: ЗИУ-683Б коррекция частоты ШИМ по напряжению на двигателе;

- разомкнутого контура самонастройки (т.е. контур самонастройки не связан с изменением сигналов основного контура управления, а реагирует на косвенные величины , от которых зависят параметры объекта). Пример: автоматическое управление полетом самолета при изменяющейся массе (расход топлива) требует соответствующей коррекции регулятора.

Или

Системы самонастройки по двум или более факторам может иметь несколько контуров замкнутых и разомкнутых.

Процесс самонастройки состоит из следующих эталонов:

- определение (измерение, вычисление) исходного фактора для самонастройки;

- идентификация (определение основных параметров или характеристик, необходимых для самонастройки);

- формирование воздействия на настраиваемую часть САУ;

- изменение какого-либо параметра или структуры настраиваемой части САУ.

В зависимости от того, каким образом осуществляется определение параметров самонастройки, самонастраиваемые САУ делятся:

1) поисковые (или экстремальные) – в которых реализуется поиск экстремального значения показателя качества, как критерия самонастройки;

2) безпоисковые (аналитические) - в которых реализуется безпоисковое вычисление критерия самонастройки.

В качестве ориентиров самонастройки могут использоваться:

- поддержание постоянства частотной характеристики САУ;

- обеспечение заданных качественных показателей (стат. ошибки регулирования).

В системах с замкнутым контуром самонастройки анализ результата управления осуществляется двумя способами:

- без пробных воздействий;

- с пробными воздействиями.

В большинстве случаев контур самонастройки обладает существенно большими постоянными времени, следовательно инерционностью, по сравнению с главным контуром САУ. Поэтому при их анализе используется так называемый метод замороженных коэффициентов, согласно которому при расчете самонастраивающейся САУ изменяемые параметры принимаются постоянными. Однако при этом расчет САУ необходимо проводить во всем диапазоне изменения параметра.