Теоретические основы. При проведении эконометрических исследований часто приходится иметь дело с временными последовательностями

При проведении эконометрических исследований часто приходится иметь дело с временными последовательностями. Построение моделей на основе временных рядов как правило сопряжено с нарушением одного из условий Гаусса-Маркова: cov (u_i, u_j) = 0 i¹j, что свидетельствует о наличии автокорреляции в остатках.

Автокорреляция как и гетероскедастичность приводит к неэффективным оценкам параметров (коэффициентов) уравнения регрессии, а стандартные ошибки коэффициентов определяются со смещением в сторону занижения.

Возможные причины автокорреляции:

1. неправильная спецификация переменных;

2. ошибочная функциональная спецификация.

В простейшем случае – авторегрессионной модели 1-го порядка:

_ui = r×u_i-1+ε_i,

где u_i – значение в i-том наблюдении,

_ui-1 – значение в (i-1)-м наблюдении,

ε_i – случайно распределенная величина.

В каждом i-м наблюдении случайная компонента равна предыдущему значению, умноженному на r (-1<r<1) плюс новое значение ε_i. Если r>0, то автокорреляция положительная; если r<0, то отрицательная; если r=0, то автокорреляция отсутствует.

Безусловно, значения, ε_i измерить невозможно, но имеются значения остатков y_i-ŷ_i = е _i. Зная значения остатков можно вычислить оценку r= .

Для большой выборки можно приближенно взять: cov (e_i;е_i-1) = Var(l_i-1) =

средние значения остатков можно принять равными 0 т.е. _I=0. Тогда

r =

Статистика (критерий) Дарбина-Уотсона (DW) позволяет тестировать наличие корреляции остатков в больших выборках:

DW = (1)

При отсутствии автокорреляции, r=0 и величина DW=2. При возможном наличии положительной автокорреляции величина DW<2, при возможном наличии отрицательной автокорреляции DW>2. Так как -1 r 1, то 0 DW 4.

Критические значения критерия DW зависят от числа объясняющих переменных в уравнении регрессии, от объема выборки и также от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэтому для критического значения (DW_кр) можно указать лишь верхнюю (DW_U) и нижнюю (DW_L) границы, которые табулированы.

Графическая интерпретация для положительной и отрицательной автокорреляции приведена на рис.1.

Положительная Отрицательная

А Б В В Б А

0 DW_L DW_U 2 4 0 2 4-DW_U 4-DW_L 4

Рис. 1 Графическая интерпретация положительной и отрицательной автокорреляции.

Зона А соответствует наличию автокорреляции, Зона Б – область неопределенности. Зона В соответствует отсутствию автокорреляции. Так как значение DW_кр находится в заштрихованной области, то возможны три варианта принятия решения:

1. Величина DW<DW_L, значит DW<DW_кр, принимается решение о наличии положительной автокорреляции.

2. Величина DW>DW_U, значит DW>DW_кр, принимается решение об отсутствии автокорреляции.

3. Величина DW находится в заштрихованной области (DW_L<DW<DW_U), решение о наличии или отсутствии автокорреляции не может быть принято.

Значения DW_L и DW_U табулированы и приводятся в статистических пособиях.

Проверка на наличие отрицательной автокорреляции производится аналогично, т. к. зона неопределенности согласно рисунку находится симметрично относительно DW=2 справа. В этом случае (4-DW_U) есть нижний предел, а (4-DW_L) – верхний предел DW_кр.

Если DW < (4-DW_U) – автокорреляция отсутствует;

DW > (4-DW_L) – автокорреляция имеется;

4-DW_U < DW < 4-DW_L – область неопределенности.

Обобщенный МНК при наличии автокорреляции.

Рассмотрим простейшую модель авторегрессии для случайной компоненты (u_t) [1].

u_t = r··u_t-1 + ε_t, (1)

где ε_t – независимая случайная величина;

r – коэффициент корреляции.

Содержательную модель выберем в виде уравнения парной регрессии

y_t = b₀ + b₁·x_t + u_t. (2)

Для момента времени t-1 уравнение (2) будет иметь вид:

y_t-1 = b₀ + b₁·x_t-1 + u_t-1. (3)

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2), умноженное на ρ.

y_t – r·y_t-1 = b₀(1 – r) + b₁(x_t – r·x_t-1) + u_t –r·u_t-1. (4)

Обозначим в уравнении (4):

ỹ_t = y_t – r·y_t-1;

= x_t – r·x_t-1;

= 1 – r.

Тогда уравнение (4) примет вид:

ỹ_t = b₀· + b₁· + u_t – r·u_t-1 = b₀· + b₁· + ε_t. (5)

Если по уравнению (5) с использованием обычного МНК получить оценки b₀ и b₁, то они будут эффективными, т. к. выполняется третье условие Гаусса-Маркова (cov(ε_i, ε_j) = 0).

При малом объеме выборки проблемой может быть потеря первого наблюдения. Оценку r приближенно можно получить из теста Дарбина-Уотсона (D-W).

D-W = 2(1 – r).

Более точным является подход, базирующийся на итеративных процедурах, например, метод Кокрана-Оркайта [7].

Метод Кокрана-Оркайта включает в себя следующие этапы:

1. Оценить используя обычный МНК коэффициенты уравнения регрессии;

2. Вычислить остатки;

3. Оценить используя обычный МНК значение r из уравнения (1);

4. Подставить полученную оценку r в уравнение (5) и получить остатки;

5. Возвратиться к этапу 3. Процесс уточнения заканчивается при получении заданной точности по коэффициентам b₀, b₁.

В табл.1. приведены данные о доходности актива за t=20 периодов (недель). Определить наличие автокорреляции на остатках по данным табл.1.

Таблица 1. Доходность актива за t=20 недель.

t

у

Для тестирования необходимо загрузить «Пакет анализа» и построить уравнение парной регрессии, распечатав значения остатков. Исходя из формулы (1) вычисляем значения и и затем значение DW. По табличным значениям по выбранному уровню значимости a и объему выборки определяем значение DW_U и DW_L согласно таблице приложения №2. В зависимости от конкретного значения DW принимаем одно из трех вышеприведенных решений.

Выполнение работы:

1. Определить наличие автокорреляции по данным из приведенной выше таблицы (табл.1).

2. В соответствии с выбранным вариантом взять выборку из табл.2., построить регрессионную модель и протестировать остатки.

Отчет должен содержать: название, цель работы, расчетные формулы, график остатков, расчетные и граничные значения критерия DW, результаты моделирования с использованием обобщенного МНК и выводы по обоим заданиям.

Таблица 2. Индивидуальные задания.

x	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8
	143,5371	116,9243	88,49286	114,1743	134,3557	101,3114	142,6057	115,9929
	204,3031	196,7361	152,5277	189,3861	211,5446	218,5692	233,5946	226,0277
	268,1082	305,0966	267,8079	293,9204	305,1098	382,106	343,3157	373,6043
	293,3011	352,4172	300,1731	335,1094	351,6961	483,5672	415,095	468,4241
	245,5775	263,7857	142,1609	236,9199	296,9333	415,739	395,3292	421,2453
	261,9397	304,9419	151,7544	269,29	337,834	550,3618	472,475	541,9336
	301,4781	384,9693	264,8937	348,6316	401,3866	701,9888	558,5592	676,0259
	251,3617	285,8685	155,3811	248,6817	330,4266	601,3288	513,5719	599,182
	290,7717	369,4054	241,0424	327,675	398,4196	798,1958	613,0024	769,6432
	306,4794	399,4127	288,7672	359,1723	421,1445	868,0925	651,532	833,7185
	284,1616	356,8842	225,1779	314,5677	392,0223	862,6909	646,8244	834,5202
	262,676	317,3808	153,9921	271,605	365,7174	863,8899	644,2501	840,3447
	267,437	327,129	166,1938	281,1275	373,8144	916,7666	668,1841	888,7991
	279,766	349,2992	214,9871	305,7841	389,2572	971,857	693,5371	938,7026
	249,8025	287,8243	151,955	245,8561	342,49	904,5936	656,7046	886,2848
	238,2909	265,1688	119,3245	222,8323	325,9195	901,067	650,8937	886,6534
	259,8096	305,7361	180,271	265,8694	354,4426	965,7251	681,5063	943,5447
	242,0567	267,048	148,905	230,3634	323,0129	905,2883	649,8005	895,9191
	276,2478	335,4066	231,1764	298,7455	374,0626	1021,496	705,0122	995,2505
	227,1908	235,9759	109,6389	200,6315	298,1046	868,5374	627,6556	870,0521
	208,3772	200,7179	47,67581	163,0043	273,1386	839,6019	609,4363	848,002
	196,2937	173,7382	29,61038	138,8374	250,4956	780,6256	580,727	800,7321
	200,2851	177,234	64,68185	146,8201	249,7209	760,2373	571,6917	785,4497
				184,4518	244,4408	-438,733	582,8371	801,512

y9	y10	y11	y12	y13	y14	y15	y16
74,69858	129,4672	203,0114	216,1557	92,55572	133,3371	117,5371	142,5186
211,0023	332,1202	401,6292	334,4379	161,571	165,7048	151,5511	146,5274
408,9992	510,9988	640,424	439,8442	147,1656	178,8882	155,8962	160,1247
533,0503	604,348	810,2276	483,8286	143,6039	165,072	142,9925	146,878
441,5231	473,7659	804,5992	433,6861	61,98116	119,4999	96,05234	127,3026
625,2279	749,3746	995,816	502,3829	208,1305	199,1024	182,5058	165,5555
826,0781	842,8335	1198,938	557,0728	123,0195	167,0906	142,8436	152,9234
700,4153	655,5396	1145,134	473,5754	79,50016	120,5424	96,8116	123,8274
979,6559	1039,43	1384,635	568,412	232,5688	224,8249	207,8754	180,8176
1080,824	944,6531	1493,324	568,715	82,30334	137,5303	110,7903	136,4911
1095,638	986,6566	1523,22	537,8473	162,2932	175,0322	153,1458	150,8524
1120,704	949,6655	1556,536	521,7092	90,5391	138,3326	117,5342	138,9942
1212,923	1038,256	1638,637	536,7821	174,9947	181,6687	160,6226	155,1024
1307,35	1065,342	1720,318	549,0393	115,035	156,8838	135,4314	147,974
1241,227	942,8278	1677,249	498,3636	107,1407	139,069	115,9805	133,7118
1262,193	986,7787	1695,737	496,6389	129,0582	157,9444	140,057	147,5926
1367,988	1050,016	1780,427	527,8119	150,0294	169,679	148,4013	151,5936
1306,688	923,2464	1738,217	487,3206	81,63603	130,3166	108,5321	132,3461
1484,306	1153,971	1871,009	549,238	210,6542	205,0418	185,9852	168,7185
1297,364	799,9822	1733,141	456,2069	-6,43847	79,84631	55,56602	108,6273
1283,533	931,8637	1717,936	456,7884	199,3335	184,6593	168,833	155,9452
1217,052	763,6357	1671,453	437,5101	23,31786	100,3697	80,98691	122,8552
1201,373	823,6375	1662,433	442,7722	181,9492	173,3726	154,9167	149,0797
1231,683	816,9513	1690,186	463,2845	73,11476	133,2193	114,9803	139,2615