Ускорение

Ускорение — это вектор, характеризующий изменение величины и направления скорости с течением времени. Среднее <a> и мгновенное a ускорения определяются как:

<a> = Dv/Dt, a = lim(∆v/∆t) = dv/dt = d²s/dt², при ∆t → 0. (3.9).

А модуль ускорения a = dv/dt = d²s/dt². (3.10).

Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении a = √a_х² +.a²_у. (3.11).

При криволинейном движении вектор полного ускорения целесообразно разложить по двум составляющим — тангенциальному ускорению a_t, направленному по касательной к траектории в сторону изменения скорости, и перпендикулярному нормальному (центростремительному) ускорению a_n, направленному по радиусу к центру траектории.

Рис.12. Касательное и нормальное ускорения.

Полное ускорение будет геометрической суммой тангенциальной и нормальной составляющих a = a_τ + a_n. (3.12).

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости, а нормальное ускорение — за изменение направления скорости. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени: a_τ = dv/dt. (3.13).

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна a_n = v²/R, (3.14).

где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Вектор полного ускорения

(3.15).

Его модуль легко найти по теореме Пифагора: a = √a_τ² +.a²_n (3.16).

Дело в том, что и а _τ, и а _n – каждый имеет свою "специализацию": а_τ отвечает за изменение скорости по величине, а а_n отвечает за изменение скорости по направлению. Если скорость тела меняется только по величине и, следовательно, сохраняет свое направление, то, в соответствии с определением скорости, мы имеем дело с прямолинейным движением, и его ускорение будет только тангенциальным: a_τ = dv/dt. (3.17).

Если же скорость меняется лишь по направлению, а ее величина остается постоянной, то при таком криволинейном движении ускорение все равно будет, но оно полностью нормальное a_n = v²/R, (3.18).

и в любой момент направлено к центру кривизны траектории: