2015-06-04
356
1. Если неравенство (1.3) выполняется с константой L, то оно справедливо для бесконечного множества констант, больших L. Как правило, представляет интерес минимальная из констант Липшица.
2. Из условия (1.3) следует непрерывность функции f (x) на отрезке [ а, b ]. Если кроме того функция имеет на [ а, b ] непрерывную производную, то константа Липшица 
3. Условие (1.3) означает, что модуль углового коэффициента любой хорды графика функции f (x) не превосходит L.
Пример 1.20. Проверить, удовлетворяют ли условию Липшица следующие функции: a) f (x) = 2 х на отрезке [0, 1]; б) f (x) = sin x на отрезке [0, π ]; в) 
на отрезке [0, 1].
Воспользуемся определением 1.11 и п.2 замечаний 1.5:
а) функция f (x) = 2 х удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, 1] с константой L = 2;
б) функция f (x) = sin х удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, π ] с константой 
в) функция не удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, 1], так как при х → + 0 угловой коэффициент касательной к графику неограниченно возрастает, а переходя в (1.3) к пределу при | х ′ – х ″| → 0, можно заключить, что если в некоторой точке существует касательная к графику функции f (x), то модуль ее углового коэффициента не может превышать L.
|
|
|
Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума
