Задача минимизации суммарных потерь

Соответствующая задача традиционно рассматривается как задача минимизации суммарных годовых издержек/потерь, характеризуемых представленным ниже выражением:

С₀· (1/T) + С_h· (q-S)·(1- γ)/2 + С_B·S· γ/2 → min

Используя равенства 1/Т=D/q, S=D·T·γ и (q-S)=D·T· (1- γ),соответствующая задача может быть рассмотрена как задача минимизации функции двух переменных T и γ:

С₀· (1/T) + С_h· (1- γ)²·D·T/2 + С_B·γ²·D·T/2 → min.

^T>0

^{0≤ γ ≤1}

Здесь, напомним, γ – доля времени наличия дефицита, определяющая баланс между интервалами t₁ и t₂ (наличия запасов и дефицита для данного товара) в пределах периода Т и рассматриваемая далее как независимая переменная в области 0≤ γ ≤1.

Традиционное графическое представление модели дает рис. 6.1.

Рис. 6.1. Иллюстрация основных понятий для модели

планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке.

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА

с его покрытием при очередной поставке

(без учета временной стоимости денег)

Рассматриваем суммарные годовые потери как функцию F (T, γ) двух переменных Т и γ (T>0, 0£ γ £1):

F(T, γ) = C₀/T + [ C_h·(1- γ)² + C_B·× γ ²] ·D·T/2

ЗАМЕЧАНИЯ 1.

¨ Отметим, что в граничной ситуации, когда γ = 0 (т.е. когда заведомо или априори дефицит не планируется) как легко видеть, параметры оптимальной стратегии будут определяться формулами Уилсона.

¨ Аналогично в другой граничной ситуации, когда γ = 1 (т.е. когда заведомо планируются поставки именно такого размера, который только покрывает дефицит), параметры оптимальной стратегии в невырожденном случае C_B >0 также будут определяться формалами Уилсона, но с учетом следующей особенности. А именно, - «роль» издержек хранения в такой ситуации будут «исполнять» уже издержки дефицита C_B, т.е. для оптимальных параметров при априори заданном значении γ = 1 получаем

Вернемся к решению задачи минимизации суммарных потерь, представленных функцией F(T, γ).

Необходимое условие экстремума (T>0, 0£ γ £1):

∂F /∂ T = 0 C_h· (1- γ)² + C_B·γ² - 2C₀/(D·T²)= 0

∂F / ∂γ = 0 (C_h+C_B) · γ = C_h

ЗАМЕЧАНИЯ 2. Для невырожденного случая, когда C_h>0 и C_B >0 обратим внимание на следующее.

¨ Решение приведенной системы уравнений действительно дает именно точку минимума для F(T, γ) в интересующей нас области T>0, 0£ γ £1 (убедитесь в этом самостоятельно);

¨ Величина [ F (T, γ) – C₀/T)] при фиксированном Т представляет суммарные издержки хранения и дефицита, обусловленные именно планируемым балансом между t₁ и t₂ на Т.

Таким образом можно отметить следующее.