Рассмотрим сферическую наночастицу радиуса R, находящуюся в жидкости. Пусть в жидкости растворено вещество с плотностью . На поверхности частицы плотность растворенного вещества равна , вдали от частицы плотность этого вещества равна . Считая, что плотность растворенного вещества в окрестности частицы зависит от радиальной координаты , которая отсчитывается от центра частицы, запишем уравнение стационарной диффузии
. (1)
Решая это уравнение с граничными условиями
,
получаем распределение концентрации растворенного вещества в окрестности частицы в виде
(2)
График этой зависимости имеет вид
Рис.1. Зависимость плотности вещества, растворенного в жидкости, от расстояния до центра частицы
Для расчета диффузионного роста частицы найдем плотность массового потока к ее поверхности
= (3)
где - коэффициент диффузии растворенного вещества.
Плотность массового потока представляет собой массу, проходящую через единицу площади за единицу времени. Тогда через всю поверхность частицы за единицу времени проходит масса
= (4)
Приравнивая это выражение к скорости изменения массы частицы
,
где - плотность вещества частицы, - время, получаем дифференциальное уравнение, описывающее диффузионный рост частицы
(5)
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия
,
получаем зависимость радиуса частицы от времени в виде
(6)
График этой зависимости имеет вид
Рис.2. Зависимость радиуса частицы от времени в ходе ее диффузионного роста
Используя (6), определим время , за которое квадрат радиуса частицы возрастет вдвое
(7)
Для того чтобы мы могли использовать стационарное уравнение диффузии (1) вместо нестационарного уравнения диффузии
,
время установления стационарного режима диффузии должно быть мало, по сравнению со временем (характерное время изменения радиуса частицы). Условие представим в виде
(8)