Переход к приведенному импедансу

Нами получена формула для расчета импеданса на кровле нижнего слоя:

и рекуррентная формула его пересчета с подошвы на кровлю любого другого слоя:

Первая формула позволяет определить импеданс на кровле нижнего слоя, а вторая - последовательно пересчитать его вверх вплоть до земной поверхности (рис. 6).

Рис. 6. Схема расчета импеданса на примере 3-слойной модели.

Приведем эти формулы к виду, удобному для программирования. Для этого представим импеданс на кровле m - го слоя в виде:

(7.1)

Здесь - приведенный импеданс, зависящий от свойств среды:

Тогда рекуррентная формула перепишется в виде:

Учитывая, что и и сокращая одинаковые множители в левой и правой частях формулы, окончательно получим:

(7.2)

Эта формула используется для последовательного пересчета приведенного импеданса с нижней границы (на которой ) на Земную поверхность.

Напомним, что соотношение для пересчета в записывается в виде:

(7.3)

Подставляя в (7.3) выражение (7.1), получим формулу пересчета в :

Из формулы (7.1) видно, что фаза импеданса связана с фазой приведенного импеданса соотношением .

Наконец, избавимся от гиперболических функций в формуле (7.2). Для этого выразим гиперболический арккотангенс через натуральный логарифм:

и введем обозначение . С учетом этого (7.2) запишется в виде:

(7.4)

Теперь распишем гиперболический котангенс через экспоненты:

При этом формула (7.4) преобразуется к виду:

Помножим числитель и знаменатель на :

Отсюда:

Разделив числитель и знаменатель полученного выражения на и введя обозначение , окончательно получим изящную формулу: