Для дальнейшего ограничимся случаем, когда и ось OZ направлена по вертикали вниз. При этом в системе (1.158) , а . Тогда полученная система безразмерных дифференциальных уравнений конвективного теплообмена (1.158) будет содержать независимые переменные , зависимые переменные , Eu, Nu и критерии подобия Re, Pe, Fr.
В соответствии с безразмерными уравнениями конвективного теплообмена (1.158) и теплоотдачи (1.159) для рассматриваемого случая можно уравнения подобия записать следующим образом:
(1.169)
; (1.170)
(1.171)
; (1.172)
; (1.173)
. (1.174)
Безразмерный комплекс
(1.175)
называют критерием Рейнольдса. Число Re характеризует соотношение сил инерции и вязкости в потоке или иначе отношение сил инерции к силам молекулярного трения, а поэтому является его важнейшей характеристикой.
Безразмерный комплекс
(1.176)
называют числом Фруда*. Число Fr является мерой отношения сил инерции и тяжести в однородном потоке и существенно лишь для случаев движения, в которых гравитационные эффекты играют заметную роль.
|
|
Для характеристики свободного движения однородной среды (жидкости или газа), обусловленного разностью температур в различных её точках, как было показано ранее, с достаточным приближением можно записать и использовать критерий Грасгофа (Grashof number)
, (1.177)
где - коэффициент объёмного расширения; - разность характерных значений температуры жидкости, в задачах, связанных с теплообменом жидкости и стенки.
Число Грасгофа характеризует отношение подъёмной силы, обусловленной различием плотности в потоке к силам молекулярного трения.
Безразмерный комплекс
(1.178)
как уже отмечалось выше, называют числом Эйлера*. Число Эйлера характеризует соотношение нормальных сил давления (величины такого же порядка, как и сила внутреннего трения) и силы инерции в потоке. В большинстве задач гидродинамики (внешнее обтекание тел, движение жидкости в трубах и др.) число Eu включает в себя обычно неизвестную величину р, а поэтому определяется уравнением подобия как однозначная функция безразмерных независимых переменных и критериев. В этих случаях число Eu является определяемым числом подобия.
В практических расчетах искомой величиной обычно является не абсолютная величина давления, а перепад давлений в двух точках системы. Поэтому число Эйлера представляют в виде
(1.179)
Часто вместо Eu употребляется другой комплекс, являющийся произведением чисел Eu на Re, которые называют числом Лагранжа* (Lagrange number):
. (1.181)
Для ряда задач такая форма представления безразмерной разности давлений является удобной, т.к. число Лагранжа, полученное как произведение числа Re на число Eu, является мерой отношения двух сил одинакового порядка.
|
|
Число Нуссельта
(1.182)
по своему определению является безразмерным коэффициентом теплоотдачи и характеризует интенсивность конвективного теплообмена (или теплоотдачи) на границе стенка-жидкость.
Число Пекле
(1.183)
характеризует соотношение количеств теплоты, переносимых конвекцией и теплопроводностью в потоке – отношение конвективного теплообмена к молекулярному. Действительно, число Пекле можно представить следующим образом
(1.184)
откуда следует данное выше определение его физической сущности.
Разделив число Пекле на число Рейнольдса,
(1.185)
получим новое число – число Прандтля (Prandtl number)
(1.186)
Число Прандтля является безразмерной физической характеристикой, и как будет показано в дальнейшем характеризует подобие скоростных и температурных полей в потоке жидкости.
Разделив число Нуссельта на число Пекле,
(1.187)
получим новый безразмерный комплекс (число подобия) – число Стантона (Stanton number)
(1.188)
Если числитель и знаменатель формулы (1.188) умножить на то можно установить, что число Стантона представляет собой меру отношения двух удельных потоков теплоты, один из которых перпендикулярен поверхности теплообмена, а второй параллелен ей. Иначе можно определить число Стентона, как меру отношения интенсивности теплоотдачи к удельному теплосодержанию потока.
Умножив число Грасгофа на число Прандтля, получим еще один безразмерный комплекс – число Релея (Rayleigh number)
Ra = Gr Pr. (1.189)
Напомним два основных положения метода размерностей: каждая размерность представляет собой произведение основных величин, возведённых в некоторой степени. Иными словами, производные размерности представляют собой степенные комплексы, составленные из основных величин; всякое уравнение связывающее физические величины, может быть преобразовано в уравнение, связывающее безразмерные соотношения, составленные из исходных размерных величин.
Метод анализа размерностей предполагает сразу два допущения:
заранее известно, от каких величин зависит исследуемая физическая переменная;
между всеми существенными для рассматриваемого процесса величинами имеется степенная функциональная связь.
В качестве примера применения метода анализа размерностей рассмотрим задачу о теплоотдаче нагретой поверхности обтекаемой жидкостью.
. (1.190)
В соответствии со вторым допущением метода размерностей эту зависимость можно представить в виде степенного многочлена
, (1.191)
где l, r, m, k, n, p - показатели степени, выбор которых вначале ничем не ограничен; c – безразмерный множитель пропорциональности.
Если в исходное уравнение подставить размерность входящих в него величин
То получим
(1.192)
Размерности обеих частей последнего уравнения должны быть одинаковыми, поэтому относительно основных единиц измерения имеем следующие уравнения:
(1.193)
Решая систему (1.193) найдём
(1.194)
Подставляя значения l, r, k, p в исходное уравнение, получим
. (1.195)
Поэтому
(1.196)
Полученное выражение, используя приведённые ранее обозначения безразмерных комплексов, можно записать в виде
(1.197)
Таким образом, безразмерная величина коэффициента теплоотдачи – число Нуссельта, является функцией критериев Рейнольдса и Прандтля. Неизвестные c, m, n должны определяться опытным путём.
Результаты проведённого анализа можно проверить с помощью π-теоремы. Исходное уравнение содержит шесть размерных величин, из них четыре имеют основные размерности м, кг, с, К. Физическое уравнение в безразмерном виде должно содержать (6-4=2) две безразмерные величины – числа подобия. Такой результат и был получен выше.
|
|
Знание критериев, определяющих конвективный теплообмен, позволяет моделировать этот процесс.
Для выполнения полного подобия модели образцу необходимо выполнить следующие условия: процессы в модели и образце должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одними и теми же дифференциальными уравнениями; геометрически модель должна быть подобна образцу; безразмерные краевые условия (условия однозначности) в модели и образце должны быть одинаковыми; критерии подобия для модели и образца должны иметь одинаковую численную величину.
При исследовании конвективного теплообмена находят широкое применение методы приближенного моделирования, в частности метод, основанный на признаке автомодельности процесса относительно какого-либо критерия, и приближенный метод локального теплового моделирования.