Теоремы сложения и умножения вероятностей

Если события А ₁, А ₂, …, А_n попарно несовместные, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т. е.

Пример 6.1. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?

Извлечение цветного шарика означает появление либо голубого, либо зеленого шарика. Вероятность извлечения голубого шарика (событие А): Р (А) = ¹⁵/₄₀ = ³/₈. Вероятность извлечения зеленого шарика (событие В): Р (В) = ⁵/₄₀ = ¹/₈. Так как события А и В несовместны, то Р (А + В) = Р (А) +
Р (В) =³/₈ + ¹/₈ = ½.

Тот же результат получается и непосредственно по формуле , где С – появление цветного шара; этому событию благоприятствует 20 элементарных исходов.

В общем случае

При n=2

Таким образом, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

При n =3

Сумма вероятностей событий A ₁, A ₂, …, A_n, образующих полную группу событий, равна единице:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 6.2. Вероятность того, что день будет дождливым, р =0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

События – «день дождливый» и «день ясный» – противоположные, поэтому искомая вероятность q = 1 – 0,7 = 0,3.

Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже произошло, называется условной и обозначается Р (А / В).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло, т. е.

(теорема умножения вероятностей).

Если Р (А/В) = Р (А), то говорят, что событие А не зависит от события В. Свойство независимости событий взаимное – если Р (А / В) = Р (А), то и
Р (В /А) = Р (В).

Для независимых событий А и В теорема умножения вероятностей записывается так:

Р (АВ) = Р (А) Р (В).

Пример 6.3. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,85, а для второго – 0,8 Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один стрелок.

Пусть события А, В, С – «попадание первого стрелка», «попадание второго», «попадание хотя бы одного» соответственно. Очевидно,

А + В = С, причем А и В совместны.

Тогда Р (С) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Так как А и В независимые события, то Р (АВ) = Р (А) Р (В). Тогда искомая вероятность

Пример 6.4. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Путь А ₁ – появление белого шара при первом вынимании, А ₂ – появление белого шара при втором вынимании. Нас интересует событие А ₁ А ₂. По теореме умножения вероятностей

В случае трех событий А, В и С

Если А, В и С – взаимно независимые события, то

Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С).

Путь в результате опыта могут произойти независимые события А ₁, А ₂, …, Аm. Тогда вероятность того, что произойдет по крайней мере одно из этих событий, определяется по формуле

Пример 6.5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Найти вероятность хотя бы одного попадания (события А) при одном залпе из всех орудий.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A_i (попадание i- того орудия, i= 1, 2, 3) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям A ₁, A ₂, A ₃(т. е. вероятности промахов), соответственно равны

Искомая вероятность

Если независимые события А ₁, А ₂, …, А_m имеют одинаковую вероятность, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой

где q =1– .

Пример 6.6. Имеется 4 станка. Для каждого из них вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один станок.

События «станок работает» и «станок не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Тогда вероятность того, что станок в данный момент не работал, равна

Искомая вероятность

Пример 6.7. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Обозначим через А событие «при п выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому По условию Тогда или Окончательно