Тема 7. Неокласична теорія поведінки фірми. Модель фірми

Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовій формі через X — кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів витрат різних видів ресурсів через x = (x ₁, …, x_n)’. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв’язок між випуском і витратами ресурсів:

X = F (x).

Припускається, що F (x) двічі неперервно диференційована, неокласична і матриця її других похідних є від’ємно визначеною.

Якщо w = (w ₁, …, w_n) — вектор-рядок цін ресурсів, а р — ціна продукції, то кожному вектору витрат х відповідає прибуток:

П (х) = pF (x) — wx. (1)

У (1) R = pX = pF (x) — вартість річного випуску фірми або її річний дохід, C = wx — витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.

Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:

Це задача нелінійного програмування з n умовами невід’ємності: x_i ³ 0, i =1,…, n. Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна—Таккера:

.

Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всі види ресурсів, тобто , то умови матимуть вигляд:

тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його ціні.

Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат

Це задача нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід’ємності змінних. Побудуємо функцію Лагранжа

L (x, l) = F (x) + l (C — wx),

і знайдемо її максимум за умови невід’ємності змінних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна — Таккера:

.