2015-06-28
458
В непрерывных системах широко используются PID-регуляторы, которые представляются идеализированным уравнением
где 
, K P - коэффициент усиления пропорционального канала; T Ix - постоянная времени сопрягающего полюса интегрального канала; T Dx - постоянная времени сопрягающего полюса дифференциального канала.
Для малых периодов дискретизации T уравнение может быть преобразовано в разностное без существенной потери в точности. Непрерывное интегрирование может быть представлено с помощью метода прямоугольников, или метода трапеций. 
Используем метод прямоугольников для аппроксимации непрерывного интеграла и запишем PID-закон в дискретном виде:
В результате получен нерекуррентный (позиционный) алгоритм управления, который требует сохранения всех предыдущих значений сигнала ошибки x [ i ], и в котором каждый раз заново вычисляется управляющий сигнал u [ n ].
Для реализации программ закона регулирования на ЦВМ более удобным является рекуррентный алгоритм. Он характеризуется тем, что для вычисления текущего значения сигнала u [ n ] используется его предыдущее значение u [ n -1] и поправочный коэффициент, не требующий существенных вычислительных затрат. Определим его:
Перенесем u [ n -1] в правую часть - получим "скоростной" алгоритм для программной реализации регулятора:
(*)
u [ n ] = u [ n -1] + b 0 x [ n ] + b 1 x [ n -1] + b 2 x [ n -2].
Если для аппроксимации непрерывного интеграла использовать метод трапеций, то разностное уравнение будет иметь вид:
Преобразования, аналогичные вышеизложенным, при получении рекуррентного соотношения (*) выявляют отличия только для коэффициента b 0:
Запишем РУ (*) для изображений в z -форме:
U [ z ] (1- z -1) = (b 0 + b 1 z -1 + b 2 z -1) X [ z ],
и представим его в виде дискретной ПФ:
Анализ ее коэффициентов показывает, что:
1. Для исключения статической ошибки, ПФ должна иметь полюс z x=1.
2. Если b 2 = 0, то получим PI-регулятор.
3. Если b 0 = 0, а b 1 = (1 + b 2), то получим PD-регулятор.
