Условие коллинеарности двух векторов

Условие коллинеарности двух векторов и имеет вид

,

т.е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

Условие перпендикулярности двух векторов

Если два вектора и перпендикулярны, то их скалярное произведение будет равным нулю. Отсюда условие перпендикулярности векторов примет вид

=0

Замечание. Если рассматривать векторы в пространстве, то во всех формулах добавиться третья координата – аппликата.

3. Задание для самостоятельной работы:

Вариант 1

Даны точки: т. А (3; -2; 4), т. В (4; -1; 2), т. С( 6;-3; 2), т.D (7; -3; 1); т. E (-2; 4; 3) и

т.F (5; -1; 3).

1. Найти векторы и и вычислить их длину;

2. Найти векторы и . Вычислить скалярное произведение ;

3. Найти углы между векторами ;

4. Найти расстояние между серединами отрезков и ;

5. При каком k векторы и перпендикулярны?

6. При каком t векторы и коллинеарны?

Вариант 2

Даны точки: т. А (5; -8; -1), т.B (6; -8; -2), т. С (7; -5; -11), т.D (7; -7; -9), т. E (6; -1; 5) и

т.F (4;-7; 5).

1. Найти векторы и и вычислить их длину;

2. Найти векторы и . Вычислить скалярное произведение ;

3. Найти углы между векторами ;

4. Найти расстояние между серединами отрезков и ;

5. При каком k векторы и перпендикулярны?

6. При каком t векторы и коллинеарны?

Вариант 3

Даны точки: т. А (1; 0; 3), т.B (2; -1; 0), т.С (0; -6; -5), т.D (-8; -5; 1), т. E (3; -3; 4) и

т.F (5; -2; 7).

1. Найти векторы и и вычислить их длину;

2. Найти векторы и . Вычислить скалярное произведение ;

3. Найти углы между векторами ;

4. Найти расстояние между серединами отрезков и ;

5. При каком k векторы и перпендикулярны?

6. При каком t векторы и коллинеарны?;

Вариант 4

Даны точки: т. А (-6; -5; 7), т.B (-7; -15; 8), т. С (14; -10; 9), т.D (4; -1; 7), т. E (-5; 9;-7) и т.F (-5; 0; 4)

1. Найти векторы и и вычислить их длину;

2. Найти векторы и . Вычислить скалярное произведение ;

3. Найти углы между векторами ;

4. Найти расстояние между серединами отрезков и ;

5. При каком k векторы и перпендикулярны?

6. При каком t векторы и коллинеарны?

4. Контрольные вопросы:

1. Дайте определение вектора. Что такое длина вектора?

2. Какие действия можно производить над векторами, какими свойствами они обладают?

3. Перечислите формулы суммы, разности, умножения вектора на число в координатах;

4. Как найти скалярное произведение двух векторов?

5. Что называется углом между двумя векторами в пространстве? Укажите формулу нахождения угла между;

6. Чему равно скалярное произведение двух ортогональных векторов?

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

6. Литература:

1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, ч.2, с.187-200;

2.Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М.: Высшая школа, 2003, с.107-119;

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – учебник для вузов – М.: Юнити, 2003 г, с.63-68.

4. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа, 2003, с. 269-280.